I семестр / Математический Анализ - ответы / ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ / ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ (I семестр 2003/2004 гг.).

1. 

1. Чтобы избавиться от радикала в числителе предела (1) воспользуемся формулой разности кубов . В нашем случае

(3)

Домножим и разделим предел (1) на последнее соотношение в (3):

(2) Чтобы избавиться от радикала в числителе предела (2) воспользуемся формулой разности квадратов, домножим и разделим предел (2) на . Получим

(1) + (2) = 1 + 2/3 = 5/3.

2. 

3. Найти , если .

(1)

Общее выпажение для n-ой производной (2) , следовательно, из (1) и (2) получим

4. Найти , если .

Воспользуемся формулой Лейбница для n-ой производной произведения двух функций:

(uv)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾v + u^(n-1)v' +u^(n-2)v'' + … + u^(n-k)v^(k) + uv⁽ⁿ⁾ = u^(n-k)v^(k), (1)

(формула Лейбница), где =,

В нашем случае (2)

Подставим (2) в формулу Лейбница:

5. 

Проведем интегрирование по частям: .

6. 

Воспользуемся подстановкой:

7. 

8. 

9. Исследовать на сходимость ряд .

(Если в билетах нет опечатки и сумма начинается с n = 1, то сразу можно сказать, что первый член ряда неопределен, т.к. ln1 = 0. Скорее всего в билетах опечатка. Тогда можно рассмотреть этот ряд, начиная с n = 2).

К ряду можно применить интегральный признак Коши, т.к. - неотрицательна и не возрастает на полупрямой x  2.

ряд расходится.

10. Исследовать на сходимость ряд .

Это знакопостоянный ряд с a_n > 0. Для исследования его сходимости воспользуемся, например, признаком Даламбера.

Признак Даламбера. Если a_n > 0 (n = 1, 2, …) и , то

а) при q < 1 ряд сходится и

б) при q > 1 ряд расходится.

для p ,

следовательно, ряд - сходится.

(Примечание. В принципе можно использовать критерий Коши и доказать, что ).