26. Формулировка теоремы Римана.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число L, можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L.

Замечание. Теорема Римана означает, что условно сходящийся ряд не обладает переместительнвм свойством.

27. Исследовать на сходимость ряд для любого p > 0.

Теорема Коши-Маклорена. Пусть функция неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой , где m – любой фиксированный номер. Тогда ряд

(1)

сходится тогда и только тогда, когда существует предел при n   последовательности

(2)

Применим признак Коши-Маклорена для выяснения сходимости обобщенного гармонического ряда

(3)

Т.к. ряд (3) можно рассматривать как ряд вида (1) при m = 1, и функция убывает и положительна при x  1, вопрос о сходимости ряда (3) эквивалентен вопросу о сходимости последовательности , где

(4)

Из вида элементов a_n вытекает, что последовательность расходится при p  1 и сходится при p > 1, причем в последнем случае . Таким образом, ряд (3) расходится при p  1 и сходится при p > 1.