21. Доказать дифференцируемость функции .

Теорема. (без доказательства). Для того, чтобы функция y = f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Из теоремы следует, что для доказательства дифференцируемости функции достаточно доказать, что она имеет в точке x конечную производную.

По определению производной:

(1)

Применим (1) для нахождения производной функции .

Таким образом, при

(2)

Из (2) и непрерывности функциив любой точке x следует, что

, (3)

т.е. функция имеет конечную производную в точке x, а следовательно, является дифференцируемой в этой точке.

22. Доказать, что если в точке X существует f’’(X), то

Доказательство. По определению производной

(1)

Вторая производная f’’(x) является производной от первой производной f’(x). Поскольку в определении производной знак приращения аргумента и функции произвольный, запишем f’’(x) в виде

(2)

где f’(x) определяется по формуле (1), а записывается в виде

(3)

Подставляя (1) и (3) в формулу (2), получим

23. Найти f’(0) и f’’(0), если .

Очевидно, что для x  0 производная этой функции существует и определяется формулой .

1). Существование производной f’(0) в точке x = 0 вытекает из существования предельного значения

(1)

Т.к. , разложим по формуле Маклорена до второго члена с остаточным членом в форме Пеано:

(2)

Подставив разложение (2) в формулу (1), получим

2). Существование производной f’’(0) в точке x = 0 вытекает из существования предельного значения

(3)

Подставив разложение (2) в формулу (3), получим

24. Доказать, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной..

Определение 1. Последовательность называется неограниченной, если для    найдется элемент x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Определение 2. Последовательность называется бесконечно большой, если для    : n   все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Очевидно, что  бесконечно большая последовательность является неограниченной, т.к. для    : n   все элементы x_n удовлетворяют неравенству  для    найдется по крайней мере один элемент x_n, что .

Замечание. Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,…, 1 ,n,…не является бесконечно большой, т.к. при А > 1 неравенство не имеет места для всех x_n с нечетными номерами.

25. Доказать ограниченность фундаментальной последовательности.

Определение 1. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной , если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. если m и M такие, что для x_n m  x_n  M.

Определение 2. Последовательность называется фундаментальной, если для     n   и всех натуральных p (p = 1, 2, …) выполнялось неравенство .

Из Определения 2 следует, что для     такой, что для всех натуральных p (p = 1, 2, …) выполняется неравенство , которое означает, что в -окрестности элемента x_N находятся все элементы последовательности, начиная с номера N.

Это свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности. Пусть  > 0 – некоторое фиксированное число и x_N – элемент, в -окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N. Тогда вне -окрестности могут находиться только элементы x₁, x₂, …, x_N-1. Положим

Тогда на сегменте находятся числа x₁, x₂, …, x_N-1, x_N - , x_N + , а следовательно, и все точки -окрестности элемента x_N. Следовательно, все элементы фундаментальной последовательности находятся на сегменте , что и означает ее ограниченность.