14. Производная функции .

Пусть функция y = f(x) положительна и дифференцируема в точке x. Тогда в этой точке . Продифференцируем эту функцию как сложную функцию аргумента x, принимая y = f(x) за промежуточный аргумент:

(1)

Величина, определяемая формулой (1), называется логарифмической производной функции y = f(x) в точке x. Вычислим производную степенно-показательной функции . Эта функция определена и непрерывна для всех значений x, для которых u(x) и v(x) непрерывны и u(x) > 0. Также потребуем, чтобы u(x) и v(x) были дифференцируемы для рассматриваемых значений x. Тогда

и логарифмическая производная равна:

(2)

Учитывая, что из (2) получим:

.

15. Найти производную n-го порядка функции .

Вычислим n-ю производную степенной функции (x > 0,   R). Последовательно дифференцируя, имеем

Отсюда общий закон

(1)

Докажем (1) методом индукции. Для n = 1 формула (1) верна, . Предположим, что она верна для n – 1, т.е.

(2)

Продифференцировав (2), получим

,

т.е. формулу, совпадающую с (1).

В частном случае   m, где m – натуральное число, получим:

при n > m

16. Найти производную n-го порядка функции .

Вычислим n-ю производную показательной функции (a > 0, a  1). Последовательно дифференцируя, имеем

(Примечание. считается по правилу дифференцирования обратных функций:

)

Отсюда общий закон

(1)

Докажем (1) методом индукции. Для n = 1 формула (1) верна, . Предположим, что она верна для n – 1, т.е.

(2)

Продифференцировав (2), получим

,

т.е. формулу, совпадающую с (1).

В частном случае, когда a = e

17. Найти производную n-го порядка функции .

Вычислим n-ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем

Отсюда общий закон

(1)

Докажем (1) методом индукции. Для n = 1 формула (1) верна, . Предположим, что она верна для n – 1, т.е.

(2)

Продифференцировав (2), получим

,

т.е. формулу, совпадающую с (1).

18. Найти производную n-го порядка функции .

Вычислим n-ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем

Отсюда общий закон

(1)

Докажем (1) методом индукции. Для n = 1 формула (1) верна, . Предположим, что она верна для n – 1, т.е.

(2)

Продифференцировав (2), получим

,

т.е. формулу, совпадающую с (1).

19. Найти производную n-го порядка функции .

Вычислим n-ю производную функции . Последовательно дифференцируя, имеем

Отсюда общий закон

(1)

Докажем (1) методом индукции. Для n = 1 формула (1) верна, . Предположим, что она верна для n – 1, т.е.

(2)

Продифференцировав (2), получим

т.е. формулу, совпадающую с (1).

20. Доказать дифференцируемость функции , где n - натуральное.

Теорема. (без доказательства). Для того, чтобы функция y = f(x) являлась дифференцируемой в данной точке x, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Из теоремы следует, что для доказательства дифференцируемости функции достаточно доказать, что она имеет в точке x конечную производную.

По определению производной:

(1)

Применим (1) для нахождения производной степенной функции с целочисленным показателем . Используя формулу бинома Ньютона, запишем

Таким образом, при

(2)

Из (2) следует, что

, (3)

т.е. функция имеет конечную производную в точке x, а следовательно, является дифференцируемой в этой точке.