-
Неинвариантность формы второго дифференциала.
Определение.
Значение
дифференциала от первого дифференциала
dy, взятое при
,
называют вторым дифференциалом функции
y = f(x)
(в точке x0)
и обозначают символом
.
(1)
Формулы (1) справедливы лишь тогда, когда x является независимой переменной. Рассмотрим второй дифференциал дважды дифференцируемой функции y = f(x) в предположении, что аргумент x является дважды дифференцируемой функцией аргумента t.
Итак,
(2)
Формула (2) отличается от
формулы (1) наличием в ней дополнительного
и, вообще говоря, не равного нулю члена
.
Таким образом, в общем случае, второй
дифференциал не обладает свойством
инвариантности формы.
-
Найти производную функции .
Теорема 1. Пусть функция y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
в некоторой окрестности точки x0,
дифференцируема в точке x0,
причём производная f
'(x0)
0. Тогда в некоторой окрестности точки
у0 (где у0 = f(x0))
существует обратная функция x
= f -1(y),
эта обратная функция дифференцируема
в точке у0, и f
-1'(y0)=
.
Доказательство. Из условий теоремы
следует: [a,
b] такой, что y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
на [a, b].
причём a < x0
< b. Поэтому, согласно
Теореме 2 (Теорема 2.
Пусть функция y = f(x)
определена, непрерывна и строго монотонна
на [a, b].
Тогда множеством её значений является
сегмент Y = [f(a),
f(b)],
на сегменте Y
существует обратная функция х =
(у),
строго монотонная и непрерывная),
множеством значений f(x),
рассматриваемой на [a,
b], является сегмент
Y = [f(a),
f(b)],
на Y существует обратная
функция x = f
-1(y), строго
монотонная и непрерывная. При этом y0
(f(a),
f(b)).
Зададим приращение y
0
аргументу обратной функции в точке y0.
Обратная функция получит приращение
х
= f -1(y0
+ y)
- f -1(y0),
причем х
0 в
силу строгой монотонности обратной
функции. Рассмотрим равенство:
(1)
Пусть y
0,
тогда х
0 в
силу непрерывности обратной функции.
Но при х
0
знаменатель в правой части равенства
(1) стремится к f
'(x0), причем
по условию f '(x0)
0.
Поэтому при y
0
предел правой части равен
.
Следовательно при y
0
существует предел левой части равенства
(1), то есть существует производная
обратной функции в точке у0 и
она равна:
(2)
Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет
простой геометрический смысл. Рассмотрим
график y = f(x)
в окрестности точки x0.
Точке x0
на этом графике соответствует точка М.
Тогда
равна
.
Производная обратной функции
.
Т.к.
,
то формула (2) выражает очевидный факт:
.
Функция
определена на интервале
,
служит обратной для функции
,
определенной на интервале
.
Согласно Теореме 1:
при
.
(3)
Перед корнем знак +, т.к.
на интервале
.
Учитывая, что
,
из (3) окончательно получим:
при
.
-
Найти производную функции .
Теорема 1. Пусть функция y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
в некоторой окрестности точки x0,
дифференцируема в точке x0,
причём производная f
'(x0)
0. Тогда в некоторой окрестности точки
у0 (где у0 = f(x0))
существует обратная функция x
= f -1(y),
эта обратная функция дифференцируема
в точке у0, и f
-1'(y0)=
.
Доказательство. Из условий теоремы
следует: [a,
b] такой, что y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
на [a, b].
причём a < x0
< b. Поэтому, согласно
Теореме 2 (Теорема 2.
Пусть функция y = f(x)
определена, непрерывна и строго монотонна
на [a, b].
Тогда множеством её значений является
сегмент Y = [f(a),
f(b)],
на сегменте Y
существует обратная функция х =
(у),
строго монотонная и непрерывная),
множеством значений f(x),
рассматриваемой на [a,
b], является сегмент
Y = [f(a),
f(b)],
на Y существует обратная
функция x = f
-1(y), строго
монотонная и непрерывная. При этом y0
(f(a),
f(b)).
Зададим приращение y
0
аргументу обратной функции в точке y0.
Обратная функция получит приращение
х
= f -1(y0
+ y)
- f -1(y0),
причем х
0 в
силу строгой монотонности обратной
функции. Рассмотрим равенство:
(1)
Пусть y
0,
тогда х
0 в
силу непрерывности обратной функции.
Но при х
0
знаменатель в правой части равенства
(1) стремится к f
'(x0), причем
по условию f '(x0)
0.
Поэтому при y
0
предел правой части равен
.
Следовательно при y
0
существует предел левой части равенства
(1), то есть существует производная
обратной функции в точке у0 и
она равна:
(2)
Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет
простой геометрический смысл. Рассмотрим
график y = f(x)
в окрестности точки x0.
Точке x0
на этом графике соответствует точка М.
Тогда
равна
.
Производная обратной функции
.
Т.к.
,
то формула (2) выражает очевидный факт:
.
Функция
определена на интервале
,
служит обратной для функции
,
определенной на интервале
.
Согласно Теореме 1:
при
.
(3)
Перед корнем знак +, т.к.
на интервале
.
Учитывая, что
,
из (3) окончательно получим:
при
.
-
Найти производную функции arctg x.
Теорема 1. Пусть функция y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
в некоторой окрестности точки x0,
дифференцируема в точке x0,
причём производная f
'(x0)
0. Тогда в некоторой окрестности точки
у0 (где у0 = f(x0))
существует обратная функция x
= f -1(y),
эта обратная функция дифференцируема
в точке у0, и f
-1'(y0)=
.
Доказательство. Из условий теоремы
следует: [a,
b] такой, что y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
на [a, b].
причём a < x0
< b. Поэтому, согласно
Теореме 2 (Теорема 2.
Пусть функция y = f(x)
определена, непрерывна и строго монотонна
на [a, b].
Тогда множеством её значений является
сегмент Y = [f(a),
f(b)],
на сегменте Y
существует обратная функция х =
(у),
строго монотонная и непрерывная),
множеством значений f(x),
рассматриваемой на [a,
b], является сегмент
Y = [f(a),
f(b)],
на Y существует обратная
функция x = f
-1(y), строго
монотонная и непрерывная. При этом y0
(f(a),
f(b)).
Зададим приращение y
0
аргументу обратной функции в точке y0.
Обратная функция получит приращение
х
= f -1(y0
+ y)
- f -1(y0),
причем х
0 в
силу строгой монотонности обратной
функции. Рассмотрим равенство:
(1)
Пусть y
0,
тогда х
0 в
силу непрерывности обратной функции.
Но при х
0
знаменатель в правой части равенства
(1) стремится к f
'(x0), причем
по условию f '(x0)
0.
Поэтому при y
0
предел правой части равен
.
Следовательно при y
0
существует предел левой части равенства
(1), то есть существует производная
обратной функции в точке у0 и
она равна:
(2)
Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет
простой геометрический смысл. Рассмотрим
график y = f(x)
в окрестности точки x0.
Точке x0
на этом графике соответствует точка М.
Тогда
равна
.
Производная обратной функции
.
Т.к.
,
то формула (2) выражает очевидный факт:
.
Функция y =
arctg x
определена на бесконечной прямой
,
служит обратной для функции x
= tg y,
определенной на интервале
.
Согласно Теореме 1:
(arctg x)’
при.
(3)
Учитывая, что tg y = x, из (3) окончательно получим:
(arctg x)’
при
.
-
Найти производную функции arcctg x.
Теорема 1. Пусть функция y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
в некоторой окрестности точки x0,
дифференцируема в точке x0,
причём производная f
'(x0)
0. Тогда в некоторой окрестности точки
у0 (где у0 = f(x0))
существует обратная функция x
= f -1(y),
эта обратная функция дифференцируема
в точке у0, и f
-1'(y0)=
.
Доказательство. Из условий теоремы
следует: [a,
b] такой, что y
= f(x)
определена, строго монотонна и непрерывна
на [a, b].
причём a < x0
< b. Поэтому, согласно
Теореме 2 (Теорема 2.
Пусть функция y = f(x)
определена, непрерывна и строго монотонна
на [a, b].
Тогда множеством её значений является
сегмент Y = [f(a),
f(b)],
на сегменте Y
существует обратная функция х =
(у),
строго монотонная и непрерывная),
множеством значений f(x),
рассматриваемой на [a,
b], является сегмент
Y = [f(a),
f(b)],
на Y существует обратная
функция x = f
-1(y), строго
монотонная и непрерывная. При этом y0
(f(a),
f(b)).
Зададим приращение y
0
аргументу обратной функции в точке y0.
Обратная функция получит приращение
х
= f -1(y0
+ y)
- f -1(y0),
причем х
0 в
силу строгой монотонности обратной
функции. Рассмотрим равенство:
(1)
Пусть y
0,
тогда х
0 в
силу непрерывности обратной функции.
Но при х
0
знаменатель в правой части равенства
(1) стремится к f
'(x0), причем
по условию f '(x0)
0.
Поэтому при y
0
предел правой части равен
.
Следовательно при y
0
существует предел левой части равенства
(1), то есть существует производная
обратной функции в точке у0 и
она равна:
(2)
Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет
простой геометрический смысл. Рассмотрим
график y = f(x)
в окрестности точки x0.
Точке x0
на этом графике соответствует точка М.
Тогда
равна
.
Производная обратной функции
.
Т.к.
,
то формула (2) выражает очевидный факт:
.
Функция y =
arcctg x
определена на бесконечной прямой
,
служит обратной для функции x
= ctg y,
определенной на интервале
.
Согласно Теореме 1:
(arcctg x)’
при.
(3)
Учитывая, что ctg y = x, из (3) окончательно получим:
(arcctg x)’
при
.