flash Лебедев / Давыдов_К_С / КР9
.docТомский межвузовский центр дистанционного образования
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Специальность Промышленная электроника
Контрольная работа №2
По дисциплине «Высшая математика 3»
Учебное пособие «Л.И. Магазинников Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.»
Вариант 9
Выполнил
Студент гр. аз-369-а
Специальность 210106
Давыдов Кирилл Сергеевич
г.Сургут 2010
Задание 1
.
Решение
Решим квадратное уравнение:
n²+2n+=0
4n²+8n+3=0; Найдем дискриминант и корни уравнения.
Д=64-48-16
Разложим на элементарные дроби:
A(n+)+B(n+)
N(A+B)+
=>
Получаем
Ответ:
Задание 2
1); 2);3) ;4) ;
5);6) .
Решение
Определим сходимость по признаку Даламбера
1)Д=
Отсюда Д<1 по признаку Даламбера ряд сходиться абсолютно.
Ответ: 1
2)Воспользуемся признаком Коши
Следовательно ряд сходится абсолютно.
Ответ: 1
3)Исследуем данный ряд на сходимость т.к. при n→∞ значит для сходимости данного ряда достаточно исследоватьсходимость ряда
т.к.
Степень n в знаменателе равна что больше 1. Отсюда следует абсолютное сходимость ряда.
Ответ: 1
4)
Рассмотрим ряд
Сравним этод ряд с рядом
По признаку сравнения в предельной форме ряды сходятся или расходятся одновременно.
Исследуем на сходимость ряда
Воспользуемся интегральным признаком Коши
Интеграл сходится => данный ряд сходится, сходится ряд , => сходится абсолютно исходный ряд
Ответ: 1
5) Воспользуемся признаком Коши
По признаку Коши, ряд сходится абсолютно.
Ответ: 1
6) Рассмотрим ряд
Сравним этот ряд с рядом
сходится или расходится одновременно с рядом .
Сравним этот ряд с рядом
По признаку сравнения ряда сходится или расходится одновременно с рядом => искомый ряд сходится или расходится одновременно с рядом . Исследуем этот ряд, используя интегральный признак Коши: => ряд расходится =>
Расходится и ряд
Так как для сходимости ряда
Необходима сходность рядов и =>ряд расходятся.
Ответ: 3
Задание 3
А) (4А5.БЛ). ; б) (8С6.БП).
Решение.
А) Воспользуемся признаком Коши:
Тоесть при Lnx-1<1 ряд сходится абсолютно Lnx-1<1
Lnx<2
Lnx<Lne² x<e²
При ряд сходится.
При x=e² получим ряд
=>ряд расходится
Ответ: (-∞;е²)
Б) Воспользуемся признаком Даламбера:
Следовательно при ряд сходится
при х=-2 получим ряд:
Сравним с рядом
Так как ряд расходится, то и ряд расходится.
При х=8 получим ряд
Исследуем ряд по признаку Лейбница:
1)
2)
По признаку Лейбница ряд сходится.
Ответ: (-2;8).
Задание 4 (762.РП)
Решение
Ряд будет сходиться, если 4х²<1
Ряд сходится в интервале
Так как
Ответ:
Задание 5(9Д1.5П).
Решение.
Найдем первый член ряда Тейлора
Найдем второй член ряда Тейлора:
Найдем третий член ряда
Найдем четвертый член ряда Тейлора
.
Найдем пятый член ряда Тейлора
.
Ответ:
Задание 6(ТР2)
Решение
Коэффициент при
Ответ: 120
Задание 7 (722.Д7)
Решение
Проинтегрируем этот ряд почленно в пределах от 0 до 0,1; найдем:
Все члены полученного ряда, начиная, с третьего, отбрасываем, так как их абсолютное значение меньшие 0,001
Ответ:0,09
Задание 8 (Д40.РП)
Решение
Д=1+8=9
=>=>=>
Разложим в ряд каждую дробь
Получим ряд геометрической прогрессии, где =>в указанной области ряд сходится, так как q<1.
получим ряд геометрической прогрессии, =>в указанной области ряд сходиться,
так как q<1 .
Ответ
Задание 9 (А12.РЛ)
Решение
Следовательно, является устранимой особой точкой для .
Следовательно является полюсом.
Следовательно простой полюс.
Функция представляет собой ряд Лорана по степеням (z-3) . Наибольший показатель степени в главной части =3=>Z0=3 полюс кратности 3.
Ответ: 1)7; 2)1; 3)3.
Задание 10
А)(ПТ1).
Б)(652).
В)(7Б3).
Решение
А)(ПТ1).
Так как является аналитической в точке z=1, то z0=1 является простым полюсом для функции можем воспользоваться формулой
где Z0-простой полюс для f(z).
Получим:
Б)(652).
Т.к. функция является аналитической в точке z=2, то Z0=2 является полюсом кратности два для функции
Воспользуемся формулой:
Получим:
В)(7Б3).
Разложим в ряд Лорана
Ответ:
А)1
3
б) cos1-sin1
в)1.
Задание 11
А)(058)
Б)(567.5П).
В)(2С8.5Я).
Решение
А)
По основной теореме о вычетах:
т.к.
то Z0 является устранимой особой точкой
б)
Применим подстановку
Тогда
При изменении х от 0 до 2 П точка z опишет в положительном направлении окружность .
Следовательно,
Точка является простым полюсом для функции
при поэтому
в)
Функция аналитична в верхней полуплоскости за исключением просто полюса
Ответ:
а)0
б)
в)