flash Лебедев / Давыдов_К_С / КР 9_2

Томский межвузовский центр дистанционного образования

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Специальность Промышленная электроника

Контрольная работа №2

По дисциплине «Высшая математика 3»

Учебное пособие «Л.И. Магазинников Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.»

Вариант 9

Выполнил

Студент гр. аз-369-а

Специальность 210106

Давыдов Кирилл Сергеевич

г.Сургут 2010

Задание 1

.

Решение

Решим квадратное уравнение:

n²+2n+=0

4n²+8n+3=0; Найдем дискриминант и корни уравнения.

Д=64-48-16

Разложим на элементарные дроби:

A(n+)+B(n+)

N(A+B)+

=>

Получаем

Ответ:

Задание 2

1); 2);3) ;4) ;

5);6) .

Решение

Определим сходимость по признаку Даламбера

1)Д=

Отсюда Д<1 по признаку Даламбера ряд сходиться абсолютно.

Ответ: 1

2)Воспользуемся признаком Коши

Следовательно ряд сходится абсолютно.

Ответ: 1

3)Исследуем данный ряд на сходимость т.к. при n→∞ значит для сходимости данного ряда достаточно исследоватьсходимость ряда

т.к.

Степень n в знаменателе равна что больше 1. Отсюда следует абсолютное сходимость ряда.

Ответ: 1

4)

Рассмотрим ряд

Сравним этод ряд с рядом

По признаку сравнения в предельной форме ряды сходятся или расходятся одновременно.

Исследуем на сходимость ряда

Воспользуемся интегральным признаком Коши

Интеграл сходится => данный ряд сходится, сходится ряд , => сходится абсолютно исходный ряд

Ответ: 1

5) Воспользуемся признаком Коши

По признаку Коши, ряд сходится абсолютно.

Ответ: 1

6) Рассмотрим ряд

Сравним этот ряд с рядом

сходится или расходится одновременно с рядом .

Сравним этот ряд с рядом

По признаку сравнения ряда сходится или расходится одновременно с рядом => искомый ряд сходится или расходится одновременно с рядом . Исследуем этот ряд, используя интегральный признак Коши: => ряд расходится =>

Расходится и ряд

Так как для сходимости ряда

Необходима сходность рядов и =>ряд расходятся.

Ответ: 3

Задание 3

А) (4А5.БЛ). ; б) (8С6.БП).

Решение.

А) Воспользуемся признаком Коши:

Тоесть при Lnx-1<1 ряд сходится абсолютно Lnx-1<1

Lnx<2

Lnx<Lne² x<e²

При ряд сходится.

При x=e² получим ряд

=>ряд расходится

Ответ: (-∞;е²)

Б) Воспользуемся признаком Даламбера:

Следовательно при ряд сходится

при х=-2 получим ряд:

Сравним с рядом

Так как ряд расходится, то и ряд расходится.

При х=8 получим ряд

Исследуем ряд по признаку Лейбница:

1)

2)

По признаку Лейбница ряд сходится.

Ответ: (-2;8).

Задание 4 (762.РП)

Решение

Ряд будет сходиться, если 4х²<1

Ряд сходится в интервале

Так как

Ответ:

Задание 5(9Д1.5П).

Решение.

Найдем первый член ряда Тейлора

Найдем второй член ряда Тейлора:

Найдем третий член ряда

Найдем четвертый член ряда Тейлора

.

Найдем пятый член ряда Тейлора

.

Ответ:

Задание 6(ТР2)

Решение

Коэффициент при

Ответ: 120

Задание 7 (722.Д7)

Решение

Проинтегрируем этот ряд почленно в пределах от 0 до 0,1; найдем:

Все члены полученного ряда, начиная, с третьего, отбрасываем, так как их абсолютное значение меньшие 0,001

Ответ:0,09

Задание 8 (Д40.РП)

Решение

Д=1+8=9

=>=>=>

Разложим в ряд каждую дробь

Получим ряд геометрической прогрессии, где =>в указанной области ряд сходится, так как q<1.

получим ряд геометрической прогрессии, =>в указанной области ряд сходиться,

так как q<1 .

Ответ

Задание 9 (А12.РЛ)

Решение

Следовательно, является устранимой особой точкой для .

Следовательно является полюсом.

Следовательно простой полюс.

Функция представляет собой ряд Лорана по степеням (z-3) . Наибольший показатель степени в главной части =3=>Z0=3 полюс кратности 3.

Ответ: 1)7; 2)1; 3)3.

Задание 10

А)(ПТ1).

Б)(652).

В)(7Б3).

Решение

А)(ПТ1).

Так как является аналитической в точке z=1, то z0=1 является простым полюсом для функции можем воспользоваться формулой

где Z0-простой полюс для f(z).

Получим:

Б)(652).

Т.к. функция является аналитической в точке z=2, то Z0=2 является полюсом кратности два для функции

Воспользуемся формулой:

Получим:

В)(7Б3).

Разложим в ряд Лорана

Ответ:

А)1

3

б) cos1-sin1

в)1.

Задание 11

А)(058)

Б)(567.5П).

В)(2С8.5Я).

Решение

А)

По основной теореме о вычетах:

т.к.

то Z0 является устранимой особой точкой

б)

Применим подстановку

Тогда

При изменении х от 0 до 2 П точка z опишет в положительном направлении окружность .

Следовательно,

Точка является простым полюсом для функции

при поэтому

в)

Функция аналитична в верхней полуплоскости за исключением просто полюса

Ответ:

а)0

б)

в)