Передаточные функции линейных САУ
Структурная схема одноконтурной САУ
|
f |
|
W3(p) |
g |
y |
W1(p) |
W2(p) |
|
Woc(p) |
• Передаточная функция разомкнутой системы по
задающему воздействию
k
Wрg ( p) Wi ( p) W1( p) W2( p)
i 1
•Передаточная функция разомкнутой системы по возмущающему воздействию
m
Wрf ( p) Wi ( p) W2( p) W3( p)
i 1
• Передаточная функция разомкнутой цепи
Wрц ( p) Wрg ( p) Wос( p) W1( p) W2 ( p) Wос( p)
•Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию
|
Wрg ( p) |
|
W ( p) W ( p) |
||
Wзg ( p) |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
( p) Wос ( p) |
||
1 Wрц ( p) |
1 W1( p) W2 |
||||
|
|
|
W ( p) B( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Иначе |
зg |
|
A( p) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где характеристический полином САУ |
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
1 |
|
|
p |
1 |
n |
|
p |
n |
|
A(p) |
|
|
|||||
a |
|
ap |
|
|
n1 |
|
|
a |
n |
|
|
a |
|
|
|
||||
полином числителя этой передаточной функции |
|||||||||||||||||||
B( p) b pm |
b |
|
|
|
pm 1 b p b |
|
|||||||||||||
|
|
|
m |
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
||||
• |
Передаточная функция замкнутой системы по |
||||||||||||||||||
|
возмущающему воздействию |
|
|
|
|
||||||||||||||
W ( p) |
|
Wрf |
( p) |
|
|
|
|
|
Wрf ( p) |
C( p) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
зf |
1 Wрg ( p) Wос ( p) |
|
1 Wрц ( p) |
A( p) |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
C( p) cr pr cr 1pr 1 c1p c0
УСТОЙЧИВОСТЬ САУ
Понятие устойчивости линейных непрерывных САУ
Система называется устойчивой, если:
•после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние
•после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние
Пусть передаточная функция |
W ( p) D( p) |
|
A( p) |
замкнутой по какому-либо из воздействий САУ имеет только n простых полюсов, т.е. корней характеристического уравнения
A( p) a |
|
pn a |
|
pn 1 |
a p a |
0 |
|
тогда при подаче на её вход единичного ступенчатого |
|||||||
|
n |
|
n 1 |
|
1 |
0 |
|
воздействия переходная функция будет иметь вид
|
D(0) |
|
n |
D( p )e pkt |
|
||
y(t) Um A(0) |
Um |
k |
yуст yсв (t) |
||||
pk A ( pk ) |
|||||||
|
|
D(0) |
k 1 |
|
|
||
где |
yуст Um |
– установившаяся |
|||||
A(0) |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
(вынужденная) составляющая, однозначно связанная с изменением входной величины
n |
D( p )e pkt |
|
yсв (t) Um |
k |
– свободная |
pk A ( pk ) |
||
k 1 |
|
составляющая, |
изменяющаяся во времени в течение переходного процесса
Пусть полюсы ПФ – комплексные, т.е. pi,i 1 i j i ,
•Если i 0, то свободная составляющая будет затухать
•Если i 0, то будут иметь место расходящиеся колебания
Таким образом, общим условием затухания всех
составляющих является отрицательность вещественных частей всех полюсов передаточной функции САУ. Если хотя бы один полюс имеет положительную вещественную часть, переходный процесс будет расходящимся и система будет неустойчивой
•Иначе, необходимым и достаточным условием
устойчивости САУ является расположение всех полюсов ее передаточной функции в левой комплексной полуплоскости
Мнимая ось плоскости корней служит границей
устойчивости
|
|
|
|
Im(p) |
|
|
|
|
|
||
|
pn-1 |
|
p2 |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p4 |
|
p1 |
|
Re(p) |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
pn |
|
p3 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Параметры, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными
Критерии устойчивости САУ
Правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней, называются
критериями устойчивости
Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости
Калгебраическим критериям относятся
• Критерий Гурвица
• Критерий Рауса
• Критерий Рауса-Гурвица
Кчастотным критериям относятся
•Критерий Михайлова
•Критерий Найквиста
Критерий устойчивости Гурвица
Пусть задан характеристический полином САУ
A( p) an pn an 1 pn 1 a1 p a0
(an ,an 1,...,a0 0)
Определитель Гурвица
|
an 1 |
an 3 |
an 5 |
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
an |
an 2 |
an 4 |
|
|
0 |
|
n |
0 |
an 1 |
an 3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
a1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
a2 |
a0 |
(составлен по следующим правилам):
• в диагональ определителя вносятся коэффициенты, начиная с an 1 и заканчивая a0;
•в столбцы вписываются остальные коэффициенты, причем вверх от диагонали индекс коэффициентов уменьшается на единицу, а вниз – уменьшается на единицу;
•оставшиеся свободные места в столбцах заполняются нулями
Система будет устойчива, если определитель Гурвица
n будет положителен
Если (an ,an 1,...,a0 |
0), то |
n a0 n 1 0
где главный минор определителя Гурвица
|
an 1 |
an 3 |
an 5 |
|
|
|
|||||
|
an |
an 2 |
an 4 |
|
|
n 1 |
0 |
an 1 |
an 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a1 |
Таким образом
• |
САУ устойчива при n 1 0 |
• |
САУ неустойчива при n 1 0 |
• |
САУ находится на границе устойчивости при n 1 0 |
Частные случаи систем
• 1. n 1 |
A( p) a1 p a0 |
Определитель Гурвица n a0 0 и система всегда устойчива
• |
2. n 2 |
|
|
A( p) a2 p2 a1p a0 |
|
|||||||||||||
Определитель Гурвица |
n |
|
|
a1 |
0 |
|
a |
a 0 и |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
a0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
система также всегда устойчива |
|
|
|
|
||||||||||||||
• |
3. |
n 3 |
|
|
A( p) a3 p3 |
a2 p2 a1 p a0 |
||||||||||||
Главный минор определителя Гурвица |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
a0 |
|
a a |
|
a a |
система может быть |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
n 1 |
|
|
2 |
устойчивой или |
||||||||||||||
|
|
|
a3 |
a1 |
|
1 |
|
|
0 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неустойчивой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||