Работа - 1 / Педо

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА

ОБЩЕМЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ В ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

Студент группы

Пупкин В.В.

2004

ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ.

Условие задачи:

Вы находитесь на орбите спутника Земли, и вам предстоит приземление. Известно, что для этого надо сделать: развернуть корабль с помощью двигателей ориентации так, чтобы сопла тормозных двигателей были направлены вперед по линии вашего полета, и затем включить тормозные двигатели. И вдруг вы обнаруживаете, что двигатели ориентации вышли из строя. Как быть? Сумеете ли вы развернуть корабль без двигателей?

Решение:

Можно использовать какой-нибудь маховик: вращая его вокруг некоторой оси, вы тем самым будете вращать корабль в противоположном направлении вокруг той же оси. Правда, масса и размеры маховика малы по сравнению с размерами корабля, поэтому маховику придется совершить довольно много оборотов, пока он развернет корабль на нужный угол. Но где взять маховик, если вы его не захватили с собой в полет? В качестве «маховика» космонавт может использовать самого себя. Вращаясь на месте или совершая круговое путешествие по кабине (цепляясь за стенки, разумеется), он с течением времени развернет корабль. Если это из-за невесомости неудобно, то можно сделать все необходимое, даже не отвязываясь от кресла: достаточно, например, передать вращательное движение свободной руке. В принципе, корабль можно развернуть даже простым вращением карандаша между пальцами. Правда, карандаш вертеть пришлось бы слишком долго. Заменив для простоты расчетов корабль и карандаш пустотелыми тонкостенными цилиндрами, имеющими радиусы R = 1 м, и r = 0,4 см и массы М = 10⁶ г и m = 10 г, соответственно, мы получаем на основе закона сохранения момента количества движения:

,

откуда из соотношения угловых скоростей:

.

Из этого отношения следует, что корабль повернется на 360⁰ тогда, когда карандаш совершит 6 млрд. оборотов. Если вам некуда спешить, то, вращая карандаш без отдыха со скоростью один оборот в секунду, вы развернете корабль на 180⁰ ровно за сто лет.

Используя вместо карандаша пустотелый цилиндр с m =75 кг и r = 25 см, вы развернули бы корабль на 180⁰ примерно за сто оборотов. Человеку той же массы и радиуса, поскольку он больше похож на сплошной цилиндр, чем на пустотелый, пришлось бы совершить несколько больше оборотов, порядка 200.

ПРИНЦИП ОБРАТИМОСТИ.

Условие задачи:

Перед вами снимок глади озера сверху. Точки — пловцы, окружности — волны. Как плывут пловцы? Какой из пловцов плывет быстрее? Какова скорость пловцов, если скорость волн 0,5 м/сек?

Отыщи всему начало, и ты многое поймешь. Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», № 92

Решение:

Найдите точки, в которых находились пловцы в начале заплыва. Стоп! Дальше не читать! Подумайте!

Если ничего не придумали, читайте дальше. Скорость волны одинакова по всем направлениям. Поэтому волна и является окружностью: от той точки, где она возникла (центра окружности), она прошла по всем направлениям одинаковое расстояние. Очевидно, самая первая волна успела продвинуться дальше всех. Значит это окружность наибольшего радиуса. Цент этой окружности и есть место старта пловца. Теперь вы без труда ответите на поставленные вопросы.

Каждая волна создается пловцом. Очевидно, центры всех окружностей изображают последовательные положения пловца. Центр самой большой окружности О₁ изображает первоначальное положение пловца. Следовательно, пловец А плывет вправо, пловец М — вперед (на чертеже — вверх). За время, за которое пловец проплыл из точки О₁ в А, волна 1 прошла расстояние О₁В = О₁С = О₁D = О₁Е. Расстояние О₁В, как следует из измерений по рисунку, вдвое больше расстояния О₁А. Следовательно, скорость пловца А вдвое меньше скорости волны, то есть равна 0,25 м/сек. Это не рекордсмен. Аналогично измеряем скорость пловца М. Она еще меньше — 0,125 м/сек.

Оценим теперь качественно картину волн в зависимости от скорости пловца. Если пловец барахтается на месте, он создает концентрические кольца волн. Если он движется, то волны сгущаются в том направлении, куда он плывет, и разрежаются в противоположном направлении. Сгущение тем сильнее, чем больше скорость пловца. Так будет до тех пор, пока скорость пловца не сравняется со скоростью волн. Тогда все окружности — и большие, и малые — касаются друг друга в одной точке, а именно в той, в которой находится пловец (см. рисунок). Если пловец движется быстрее волн, то картина оказывается сложнее. Наиболее отчетливо виден в ней клин из двух прямых волн АС и АВ — общих касательных ко всем круговым волнам. Внутри же клина картина очень запутана: здесь в отдельных местах гребень одной волны складывается с гребнем другой и получается более высокий гребень, в других же местах складываются две впадины, в третьих — гребень одной со впадиной другой. И только на прямых АС и АВ мы имеем простую картину: вдоль этих прямых выстроились гребни всех кольцевых волн.

Отметим, что аналогичный клин звуковых волн создается у самолета, летящего со сверхзвуковой скоростью. Этот клин (точнее, поверхность конуса, поскольку в этом случае речь идет о движении в среде с тремя измерениями), набегая на наблюдателя, находящегося на Земле, создает у него впечатление орудийного выстрела, после которого наблюдатель, находясь уже внутри конуса, начинает слышать звук самолета. На поверхности конуса давление выше, чем снаружи и внутри. Вблизи самолета перепад давления может достигать значительной величины, зависящей от высоты полета, типа машины, ее скорости; поэтому ударная волна низко летящего сверхзвукового самолета может произвести заметные разрушения.

ПРИНЦИП СИММЕТРИИ.

Условие задачи:

В большой круглой миске — вода. Вы роняете в воду плавучий предмет (хлебную крошку и т.п.), стараясь попасть в центр. Как без инструментов проверить, насколько вам это удалось?

Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою. Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», № 156

Решение:

Проделайте этот эксперимент. Если вы наблюдательны, то он вам подскажет способ проверки. Впрочем, исчерпывающей подсказкой является мысль Пруткова. Круги легче наблюдать, когда в зеркале воды отражается что-либо пестрое (листва деревьев, облака и др.). Если отражается чистое небо, то горбы и впадины волн не отличить от наклонных участков, то есть картина волн наблюдается с большим трудом.

Нужно наблюдать за отраженной волной. Если крошка упала точно в центр, то возбужденная ею круговая волна достигнет краев миски одновременно во всех точках. Благодаря этому отраженная волна тоже будет круговой и, распространяясь от краев к центру, сфокусируется точно в месте своего возникновения, отмечаемого плавающей крошкой.

Если же крошка не попала в центр, то отраженная волна сфокусируется не в центре, а в точке, находящейся по другую сторону от центра, симметрично с крошкой. Это позволит вам немедленно уточнить второй бросок: вторую крошку нужно бросить посередине между точками исхода и схождения волн.

Строго говоря, отраженные волны фокусируются в точку только при условии, что вы попали крошкой точно в центр. При любом другом положении источника колебаний фокусировка в круглой миске будет несовершенной: отраженные волны не будут точными кругами и будут сходиться уже не в одной точке, а на некотором отрезке. Это легко заметить, если крошку уронить достаточно далеко от центра. Однако и в этом случае картина волн покажет, в какую сторону и как сильно вы отклонились.

Если бы миска была эллиптической (блюдо), то для получения круговой отраженной волны нужно было бы попасть в один из фокусов эллипса. Тогда отраженные волны сошлись бы во втором фокусе.

ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ.

Условие задачи:

Две одинаковые тележки, на которых находятся два одинаковых дворника, движутся по инерции с одинаковыми скоростями параллельно друг другу. В некоторый момент времени на тележки начинает падать снег равномерным потоком. Дворник, стоящий на одной из тележек, сбрасывает снег все время вбок, а на второй тележке дворник спит. Какая из тележек быстрее пройдет одно и то же расстояние?

Решение:

При попадании на тележку массы М порции снега ∆m ее скорость v меняется на величину ∆v, которая находится из закона сохранения импульса в проекции на горизонтальное направление:

Здесь не учтен начальный импульс порции снега, так как он не имеет горизонтальной составляющей. Аналогично, сбрасывание снега в сторону не меняет импульса тележки. В результате находим:

Отсюда следует, что замедление движения тележки тем меньше, чем больше ее масса. Поэтому тележка, с которой снег не сбрасывают, будет двигаться быстрее.

ПРИНЦИП ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ.

Условие задачи:

Маленький шарик, заряженный до величины q = 10^-8 Кл, находится на расстоянии а = 3 см от неограниченной или заземленной плоской металлической поверхности. С какой силой они взаимодействуют?

Решение:

Заряженный шарик индуцирует на металлической поверхности заряды противоположного знака. Действие проводящей металлической поверхности с ее индуцированными зарядами можно заменить действием точечного заряда, являющегося зеркальным отображением данного заряда в проводящей плоскости.

Действительно, плоскость, проходящая посередине между двумя точечными зарядами +q и –q перпендикулярно линии, соединяющей эти заряды, является эквипотенциальной. Потенциал ее равен 0 (потенциал каждой из точек равен ). Если в этой плоскости будет находиться неограниченная или же заземленная проводящая поверхность, то напряженность поля между зарядами не изменится (см. рис.). Сила же, действующая на заряды, определяется полем