Принцип сохранения

Задача. На нити длиной l = 2 м висит небольшой ящик с песком массой m = 2 кг. Пуля, летящая горизонтально, попадает в ящик и застревает в нем, при этом максимальное отклонение нити составляет 30˚. Определить скорость пули v₀, если масса пули m₀ = 10 г. (Это устройство называется баллистическим маятником и используется для определения скорости пуль.) Размеры ящика существенно меньше длины нити.

Дано: m = 2 кг, m₀ = 10 г, α = 30˚, l = 2 м; v₀ - ?

Решение: Взаимодействие пули и ящика абсолютно неупругое. Выберем направление оси x, как показано на рис. 1, и так как проекции внешних сил на ось x равны 0, то закон сохранения импульса для системы ящик – пуля в проекциях на ось x запишется в виде

.

Из данного уравнения можно определить v₀, если известно v.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии. Выберем уровень отсчета потенциальной энергии, совпадающий с осью x. Тогда в положении 1 ящик с застрявшей в нем пулей обладает только кинетической энергией, а в положении 2 – только потенциальной энергией:

, .

Из рис. 1 следует, что . Тогда закон сохранения механической энергии имеет вид

,

откуда

.

Следовательно,

м / с.

Принцип сохранения

Задача. Две проводящие сферы радиуса R₁ = 4 см и R₂ = 12 см, находящиеся на большом расстоянии друг от друга и имеющие электрические заряды Кл и Кл, соединяют тонкой проволокой, которую затем убирают. Определить заряд каждой из сфер после соединения.

Дано: R₁ = 4 см, R₂ = 12 см, Кл, Кл; ,

Решение: При соединении сфер проволокой перетекание заряда происходит до тех пор, пока потенциалы сфер не станут равны, т. е.

, (1)

где и - потенциалы сфер после соединения. По закону сохранения заряда для изолированной системы, имеем:

, (2)

где q₁ и q₂ – заряды сфер до соединения, и - заряды сфер после соединения. Так как сферы по условию задачи находятся на большом расстоянии друг от друга, потенциал каждой из сфер определится только зарядом самой сферы, влиянием поля второй сферы можно пренебречь. Поэтому

, .

Подставим эти выражения для и в (1):

, или

и, используя (2), получим

,

откуда

Кл.

Очевидно,

Кл.

Принцип симметрии

Задача. Определить емкость системы конденсаторов, изображенной на рис. 1, если система подключается к схеме точками а) А и D; б) А и Е. Емкость каждого конденсатора равна С.

Дано: С; С_АD - ?, C_АЕ - ?

Решение: а) В данной системе определим точки с равными потенциалами. В силу симметрии очевидно, что это будут точки В и Е:

.

Тогда эквивалентная схема имеет вид, показанный на рис. 2. Конденсатор С₅ можно исключить из схемы, q₅ = 0, конденсаторы С₁ и С₂, С₆ и С₄ попарно соединены последовательно и их эквивалентная емкость равна С_экв = С / 2. Два конденсатора с емкостями С / 2 и конденсатор С₃ соединены параллельно, поэтому окончательно имеем С_АD = С / 2 + С / 2 + С = 2С.

б) В этом случае точки В и D находятся под одним потенциалом, так как они через одинаковые емкости присоединены к точкам с потенциалами φ_А и φ_Е. Теперь можно исключить из схемы конденсатор С₂. Эквивалентная схема изображена на рис. 3 и совпадает со схемой, представленной на рис. 2 с точностью до номеров конденсаторов. Поскольку все конденсаторы имеют одинаковую емкость С, очевидно, что ответ на вопрос задачи в точности совпадает с ответом на пункт а). Итак, С_АЕ = 2С.

Принцип симметрии

Задача. Кольцо радиуса r₀ равномерно заряжено, γ – линейная плотность заряда (γ = Δq / Δl, где Δq – заряд на отрезке кольца длиной Δl). Определите напряженность электрического поля (в вакууме) на оси симметрии кольца.

Дано: r₀, γ; Е - ?

Решение: Напряженность электрического поля (рис. 1), создаваемого элементом кольца Δl, равна , где . Очевидно, что в силу симметрии суммарная напряженность поля, создаваемого кольцом на оси x, направлена вдоль этой оси. Поэтому сумма проекций напряженностей, создаваемых всеми элементами кольца, на плоскость, перпендикулярную оси x, равна нулю.

Проекция напряженности электрического поля, создаваемого элементом кольца, на ось х равна:

,

где , откуда

.

Суммарная напряженность электрического поля равна сумме проекций напряженностей на ось х, создаваемых всеми элементами кольца, т. е.

.

На рис. 2 изображен график зависимости Е_х(х). Видно, что Е_х обращается в нуль при х = 0 и при . Найдем, в какой точке на оси х напряженность максимальна. Условие экстремума - обращение в нуль первой производной

,

откуда

и .

Принцип дополнительности

Задача. Определить центр тяжести однородного диска с вырезанным квадратом, как показано на рис. 1. Радиус диска R, сторона квадрата а.

Дано: R, а; х_ЦТ - ?

Решение: В силу симметрии центр тяжести диска будет находиться на оси х (рис. 2). У диска без выреза центр тяжести находится в точке О. Очевидно, что после выреза центр тяжести сместится влево от точки О, так как правая часть диска будет легче благодаря сделанному вырезу. В точке О’ приложена сила тяжести оставшейся части (рис. 2).

, (1)

где ρ – плотность материала, h – толщина диска, F_T1 – сила тяжести вырезанной части. Если вырезанную часть вернуть на прежнее место, то в точке О (по определению центра тяжести) приложена равнодействующая сил тяжести и . Тогда относительно оси, проходящей через точку О, сумма моментов сил и должна быть равна 0:

. (2)

Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим для х_ЦТ:

.

Принцип дополнительности

Задача. Имеется длинный соленоид с током I. Площадь поперечного сечения соленоида S, число витков на единицу длины n. Найти магнитный поток сквозь торец этого соленоида.

Дано: I, S, n; Ф - ?

Решение: Пусть поток вектора В сквозь торец соленоида равен Ф. Если приставить к данному соленоиду еще такой же, то поток через соприкасающиеся торцы будет Ф + Ф = Ф₀, где Ф₀ – поток сквозь поперечное сечение вдали от его торца. Тогда

Ф = Ф₀ / 2 = μ₀nIS / 2.

Интересным следствием наших рассуждений является то, что нормальная составляющая В_n будет одинакова по площади торца, ибо при образовании составного соленоида B_n + B_n = B₀, где В₀ – поле внутри соленоида вдали от его торцов. В центре торца В = В_n, и мы получаем, что В = В₀ / 2.

Принцип обратимости

Задача. На дне водоема глубиной h находится водолаз. На поверхности воды плавает круглый паром так, что центр парома находится над водолазом. При каком минимальном диаметре парома водолаз не будет видеть то, что происходит над поверхностью воды? Показатель преломления воды n.

Дано: h, n; D - ?

Решение: Поскольку в задаче специально не оговорено, будем считать, что размеры водолаза малы по сравнению с глубиной водоема. Воспользуемся принципом обратимости световых лучей и будем считать, что в точке расположения водолаза находится источник света. Тогда условие, при котором ни один луч света от этого источника не выйдет на поверхность воды, эквивалентно условию, что ни один луч от источников, находящихся в воздухе не дойдет до водолаза. Поскольку нас интересует минимальный диаметр парома, рассмотрим луч ОА (рис. 1). Ясно, что он не выйдет на поверхность, если угол падения α будет углом полного внутреннего отражения. Данное явление наступает при условии

, (1)

где n₁ и n₂ – показатели преломления первой и второй сред соответственно. В нашем случае n₁ = n, n₂ = 1 (воздух). Поэтому формула (1) перепишется в виде

.

Рассмотрев треугольник ОАВ, получаем

, АС = D / 2, ОС = h.

Окончательно получаем:

.

И, наконец, выразим D:

, .

Принцип обратимости

Задача. Мальчик находится у подножия отвесной скалы высотой h на расстоянии l от нее. С какой скоростью и под каким углом он должен кинуть камень, чтобы попасть в птицу, сидящую на вершине скалы так, чтобы в момент попадания камень летел горизонтально (рис. 1)?

Дано: h, l; v - ?, α - ?

Решение: Воспользуемся для простоты принципом обратимости и будем считать, то камень брошен со скалы горизонтально с некоторой скоростью v₀, равную той скорости, которую имел камень при попадании в птицу. Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, нам нужно найти скорость камня в момент падения на землю и угол падения.

Введем систему координат, как показано на рис. 2. Уравнение движения в проекциях на оси х и у имеет вид:

,

,

где t – время падения. Из этих уравнений определим v₀ и t.

, , , .

Закон изменения скорости в проекциях на оси х и у имеет вид:

,

.

В момент падения камня , . По теореме Пифагора

.

Тангенс угла падения

.