4. Генезис квантовой электродинамики и теории слабых взаимодействий

1. Этот небольшой параграф будет посвящен качественному обсуждению электрослабой теории и ее расщеплению на квантовую электродинамику и теорию слабого взаимодействия. В настоящее время является общепризнанным, что это происходит в результате вакуумного фазового перехода.

Электрослабая теория является калибровочной теорией с локальной калибровочной группой SU₂U₁. О главных концепциях локальной симметрии, лежащей в основе СМ мы уже говорили в Гл.I§3. Здесь мы несколько подробнее рассмотрим конструкцию такой теории (в той мере, в какой это можно сделать без явного привлечения специального математического аппарата).

2. Начнем с калибровочной симметрии нерелятивистской квантовой механики. Как известно, электромагнитное поле входит в уравнение Шредингера не через напряженности электрического и магнитного полей, а через векторный потенциал А^, который определяется с точностью до калибровочного преобразования

А^А^= А^+^(x), (3.80)

где (x)– произвольная( разумеется, дифференцируемая!) функция четырех координатt,. Очевидно, что при изменении калибровки вид уравнения Шредингера изменяется, поскольку появляется дополнительный член с^(x). Очевидно также, что калибровочная неоднозначность уравнения Шредингера, возникающая при замене

А^А^

должна каким-то “безобидным” способом компенсироваться. Это делается “безобидным” изменением зависящей от пространственной точки х фазы волновой функции

( смысл имеет ||²)

(x) (x) = e^ie(x,t)(x).

В результате исходное уравнения

, (3.81а)

и уравнение с измененным потенциалом и волновой функцией

, (3.81б)

где Н(А) – гамильтониан частицы в электромагнитном поле, являются эквивалентными в том смысле, что что из одного из них следует другое.

Свойство (3.81) составляет содержание понятия “калибровоч­ная инвариантность квантовой теории”. Очень часто считается, что электромагнитное поле входит в калибровочно- инвариантный гамильтониан с помощью следующей замены обобщенного импульса:

. (3.82)

В релятивистской теории поля свойство калибровочной инвариантности проще формулировать в терминах электронного поля (x). Именно, калибровочно – инвариантная теория должна быть инвариантной относительно следующего преобразования электронного поля:

(x) (x) = e^ie(x,t)(x). (3.82)

Поскольку уравнения поля (какими бы они не были!) обязательно содержат производные ^, то простая замена

^^ (3.83)

не проходит, так как в уравнениях появляется дополнительный член ^. Чтобы компенсировать его, почти необходимо добавить в уравнения векторное поле А^, с определенным вхождением:

^  (^+iеA^)(3.84)

и преобразованием:

А^А^= А^+^(x).

В результате прикалибровочном преобразовании

(^+iеA^)(^+iеA^)(3.85)

и уравнения остаются неизменными.

В основу единой электрослабой теории положена локальная группа SU₂U₁, преобразующая лептонные и кварковые поля(x). Соответствующее этой группе калибровочное преобразование имеет вид:

(x) (x) = e^{ig(x,t)+i gY/2b(x)}(x), (3.86)

где g,g- константы взаимодействия,

(x) = _a(x)t_a ,

t_a–генераторы группыSU₂(a=1,2,3, см. Гл.I,§3) ,_a(x),b(x) – произвольные функции,

Y- “слабый гиперзаряд” – квантовое число, характеризующее лептонные и кварковые мультиплеты.

Неизменность уравнений движения для полей при таком их преобразовании требует введения трех векторных полей А_a^и одного “максвелловского” поляB^, преобразующихся по закону:

A^A^ =SA^S^-1 +i/g(^S) S^-1, (3.87)

где A^ =А_a^t_a , S = e^ig(x,t) и

B^ B^ = B^ + ^b(x). (3.88)

Таким образом, в “прамире” не было уже привычных для нас электромагнитных и слабых взаимодействий и он был заселен объектами с другим, чем наблюдаемые нами свойствами. Дальнейшие детали построения стандартной модели электрослабого взаимодействия и переход в “наш мир”являются достаточно громоздкими и связаны с размещением фермионов по неприводимым представлениям группы SU₂и реализацией концепции спонтанного нарушения симметрии. Мы их обсуждать здесь не будем, поскольку для их обсуждения необходимо использовать новый для нас математический аппарат. Рассмотрим только основные идеи,заложенные в механизм спонтанного нарушения группыSU₂U₁.

Исходным фактором здесь является “хиггсовский конденсат“ – классическое (как, например, классическое электромагнитное) хиггсовское поле , пронизывающее все пространство. Это поле заполняет вакуум в силу нелинейного самодействия, приводя-

щего к тому, что пространство с таким полем обладает меньшей энергией, чем без поля. Как мы уже говорили, отталкивание от такого конденсата создает массы частиц.

Еще одна роль конденсата – “слом” группы SU₂U₁. Механизм “слома”, т.е. сведения симметрииSU₂U₁к менее широкой симметрииU₁, состоит в следующем. Хиггсовское полесвязывает между собой степени свободы (поля) В^и А₃^и формирует новые степени свободыZиA_, связанные с прежними соотношением:

,

. (3.89)

При этом выясняется, что поле A_является безмассовым и универсальным образом взаимодействует с заряженными частицами, а полеZприобретает массу и взаимодействует с другими частицами так, как это указывалось выше.