инфа / Новый учебник информатики (3 поколение)

101

Остается сделать обозначения по осям: по оси абсцисс написать x, а по оси ординат y[x .

В результате получим график вида:

Графические возможности MathCAD можно использовать, например, для решения уравнений (графическим методом).

Пример 2-2. Решить графически уравнение cos(x)=x2

Будем строить графики двух функций y1(x)=cos(x) и y2(x)=x2. Абсцисса точки их пересечения и даст примерное значение корня. Порядок действий представлен ниже:

задаем интервал – от –π до π

задаем выражение для первой функции

задаем выражение для второй функции

нажимаем Shift-2 ( @ )

указываем оси (причем на оси ординат пишем функции через за-

пятую: y1(x), y2(x) )

102

Видим на графике, что корни примерно в районе –1 и 1.

Для уточнения корня в данном случае нужно применять специальные методы.

MathCAD позволяет решать нелинейные уравнения с помощью блока Given (где записывается уравнение) и Find (где собственно получаются корни).

Рассмотрим на том же примере

Обратите внимание, что при записи уравнения f(x) = 0 используется знак логического "=" с панели Логика (можно вызвать Ctrl + = ).

103

найден с точностью до 10-4

Аналогично находим и второй корень

x 1

Given

f(x) 0

Find(x)

f(0.824)

Подобным же образом решаются и системы нелинейных уравнений. Рассмотрим также на примере.

Пример 2-3. Решить систему нелинейных уравнений sin x y 1,32 0

cos y x 0.85 0

Как ясно, в данном случае мы должны получить два числа – значения x и y, являющиеся решениями данной системы. Поэтому здесь, после написания Find(x,y) следует нажать на панели Вычислить символически символ → (или нажать Ctrl+. ) и затем клавишу «=». В результате и получим корни (см. ниже).

104

x 1 10 y 1 10

f(x y) sin(x) y 1.32 g(x y) cos (y) x 0.85

Given

f(x1 y1) 0 g(x1 y1) 0

Find(x1 y1)

f(1.791 0.344)

g(1.791 0.344)

Индивидуальные задания

Решить уравнение. При этом сначала графически отделить корни – выяснить сколько их и в окрестности каких точек (на заданном интервале), а затем уточнить с помощью Given-Find.

105

Решить систему уравнений.

106

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ

Как уже отмечалось, в MathCAD можно оперировать сразу цельными математическими выражениями. Рассмотрим, например, вычисление сумм.

Пример 3-1. Вычислить для заданного x сумму ряда следующего вида:

Как известно, это есть разложение функции sin(x) в ряд Тейлора (мы просто оборвали суммирование на 10).

Задаем нужные значения для индекса суммирования и выражения под знаком суммы и нажимаем знак =

y:cos(x)

y=

Видим, что в результате получаем одно и то же значение. Значит, все верно.

В тех случаях, когда требуется провести суммирование с заданной точностью, поступают так. Вычисляют выражение под знаком суммы, используя ранжированную переменную (в данном случае это переменная n ) и смотрят на эти значения.

108

(на той же панели находится и знак бесконечности):

3) выделим это выражение (так чтобы оно стало "черным") и дадим команду на символьное преобразование Символика/ Вычислить/ Символически (или нажмем Shift-F9) и в результате получим:

sin(x)

4) вычислим числовое значение для полученного символьного результата (выделим этот sin(x) и нажмем «=»:

sin(x)

Нетрудно видеть, что все верно.

Индивидуальные задания

Вычислить суммы рядов в два этапа, проведя а) числовое вычисление с точностью до 10–3 и б) символьное вычисление (в таблице приведены ответы для контроля) с последующим получением числового ответа, затем числовые результаты сравнить.

109

4. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ MATHCAD

В среде MathCAD имеется и такое мощное средство как возможность численного решения дифференциальных уравнений. Как известно, решение дифференциального уравнение – есть функция. При численном же решении диф.уравнения мы получаем набор числовых значений той самой функции, которая является решением. Причем, значения рассчитываются от начальной точки и с заданным шагом.

Для такого решения используется блок Given, где задается само диф.уравнение и нач.условие, и функция Odesolve, которая собственно и дает численные значения функции решения с заданным шагом. Функция Odesolve имеет вид:

Odesolve(x,b,[step])

Здесь x – переменная, от которой зависит функция, b – конечное значение этой переменной (начальное значение задается начальным условием в блоке Given), step – шаг изменения этой переменной (это не обязательный параметр, т.е. его можно не задавать, по умолчанию шаг равен 0.1). При этом используется так называемый метод РунгеКутта 4-го порядка (с сутью этого метода можно ознакомится в любой книге по численным методам).

110

Пример 4-1. Решить уравнение y’(x) = cos(x) с нач. условием y(0)=0.

Нетрудно видеть, что решением является sin(x).

Given

y Ctrl F7 (это даст апостроф) = (знак = с панели Логика)

y(0) = (знак с панели Логика) 0

y: Odesolve(x,10)

@

задаем по осям x и y(x)

и получаем график.

Нетрудно видеть, что это и есть синусоида

Диф.уравнения можно записывать в блоке Given и в обычной форме

– не выделяя производной в левую часть. Причем, можно решать и уравнения высших порядков.

Пример 4-2. Решить уравнение my’’(x)= –kx с нач.условиями y(0)=0, y’(0)=0. Это уравнение колебания пружинного маятника. Здесь m – масса груза (зададим 10 кг), k – коэффициент деформации пружины (зададим 0.8).

Данное уравнение с указанными нач.условиями нетрудно решить точно и получить функцию-решение в виде: