T_sist_Pavlov

40

Большинство из направлений математики не содержит средств постановки задачи и доказательства адекватности модели. Последняя доказывается экспериментально, но это дорого и не всегда бесспорно и реализуемо.

Математическое же программирование содержит средства постановки задачи и расширяет возможности доказательства адекватности моделей. Идея эта была предложена лауреатом государственной и нобелевской премий Л.В. Канторовичем для решения экономических задач.

Привлекательность методов математического программирования для решения слабоформализованных задач (планирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования и т.д.) объясняется рядом особенностей, отличающих эти методы от методов классической математики.

Рассмотрим упрощенный пример. Предположим, что в трех цехах (Ц1, Ц2, Ц3) изготавливаются два вида изделий И1 и И2. Известны загрузка каждого цеха аi (оцениваемая в данном случае в процентах) при изготовлении каждого из изделий и прибыль (цена, объем реализуемой продукции в рублях) сi от реализации изделий. Требуется определить, сколько изделий каждого вида следует производить при возможно более полной загрузке цехов, чтобы получить за рассматриваемый плановый период максимальную прибыль или максимальный объем реализуемой продукции. Такую ситуацию удобно отобразить таблицей, которая подсказывает характерную для задач математического программирования форму представления задачи, т.е. целевую функцию (в данном случае определяющую максимальную прибыль или объем реализуемой продукции)

n

F = ∑ci xi = 240 xi +320 x2 → max

i=1

иряд ограничений (в данном случае диктуется возможностями цехов, т.е. их

предельной 100%-ной загрузки) 5x1+4x2≤100;

41

В общем случае может быть несколько групп ограничений (по имеющимся материалам разной группы, себестоимости, заработной платы рабочих и т.д.).

Ограничения определяют область допустимых решений. Здесь можно использовать наиболее простой метод решения задачи. В случае большого числа разнородных ограничений используются специальные методы (сим- плекс-метод, пакеты прикладных задач).

Основные особенности математического программирования:

−Введение целевой функции и ограничений и ориентация на их формирование являются фактически некоторыми средствами постановки задачи.

−При использовании методов математического программирования появляется возможность объединения в единой модели разнородных критериев (разных размерностей, предельных значений).

−Модель математического программирования допускает выход на границу области определения переменных.

−Позволяет получить пошаговый алгоритм решения задачи.

2. Статистические представления. Сформировались как самостоя-

тельное научное направление в середине XX века. Основу их составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятност-

ными (стохастическими) характеристиками и статистическими закономерностями.

Термин «стохастические» уточняет понятие «случайный», которое в обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления событий, с появлением не только повторяющихся и подчиняющихся каким-то закономерностям, но и единичных событий; процессы же, отображаемые статистическими закономерностями, должны быть жестко связаны с заранее заданными, определенными причинами, а «случайность»

b означает, что они могут появиться или не появиться при наличии заданного комплекса причин. Статистические отображения системы в общем случае можно представить как бы в виде

«размытой» точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую переводит систему оператор Ф[Sx] (рис. 2.3). «Размытую» точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью Р («размыты») и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить срез по линии аb, смысл которого – воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением по этому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т.д. картины статистического распределения.

42

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий: математическая статистика, объединяющая различные методы статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляцион-

ный, факторный и т.д.); теория статистических испытаний, основой кото-

рой является метод Монте-Карло, а развитием – теория статистического имитационного моделирования; теория выдвижения и проверки статистических гипотез, возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (событиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (исследования репрезентативной выборки) получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом.

Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединенным под общим названием – методы дискретной математики, на которой базируются теоретикомножественные, логические, лингвистические или графические методы.

3. Теоретико-множественные представления. Теоретико-множест-

венные представления базируются на понятиях множество, элементы множества, отношения на множествах, предложены Г. Кантором.

Сложную систему можно отобразить в виде совокупности разнородных множеств и отношений между ними (рис. 2.4). Множества могут задаваться двумя способами: перечислением элементов {a1 , a2 , … , an } и названием характеристического свойства (именем, отражающим это свойство, например, множество А или множество планет солнечной системы, множество рабочих данного завода и т.д.). В основе большин-

p г ства теоретико-множественных преобразований лежит переход от одного способа задания множества к другому. В множестве могут быть выделены подмножества (см. определение системы).

Из двух и более множеств или подмножеств можно, установив отношения между их элементами, сформировать новое множество, состоящее из элементов исходных множеств (при таком преобразовании у элементов нового множества как бы появляется иной смысл по сравнению с исходным). Тео- ретико-множественные представления допускают введение любых отношений. При конкретизации применяемых отношений и правил их использования

43

можно получить одну из алгебр логики, один из формальных языков математической лингвистики, создать язык моделирования сложных систем, который затем, получив соответствующее название, может развиваться как самостоятельное научное направление.

Благодаря тому что при теоретико-множественных представлениях систем и процессов в них можно вводить любые отношения, эти представления:

а) служат хорошим языком, с помощью которого облегчается взаимопонимание между представителями различных областей знаний;

б) могут являться основой для возникновения новых научных направлений для создания языков моделирования.

Теоретико-множественные представления являются основой математической теории систем М. Месаровича. Однако свобода введения любых отношений приводит к тому, что в создаваемых языках моделирования трудно ввести правила, закономерности, используя которые формально, можно получить новые результаты, адекватные реальным моделируемым объектам и процессам. В общем же случае в языке могут появляться ситуации парадоксов или антиномий, что приводит к необходимости ограничения разнообразия отношений в создаваемых языках.

Конкретная система при первоначальном описании может быть отражена теоретико-множественной формулой, включающей наборы различных элементов, отношений между ними, которые также могут быть разделены на подмножества, свойства элементов и свойства отношений. Далее могут быть учтены множества входных воздействий и выходных результатов. Формула может измениться и отразить взаимоотношения между группами множеств и т.д.

4. Математическая логика. Логические представления переводят реальную систему и отношения в ней на язык одой из алгебр логики (двузначной, многозначной), основанных на применении алгебраических методов для выражения законов формальной логики (рис. 2.5). Наибольшее распространение получила бинарная алгебра логики Буля (булева алгебра).

Алгебра логики оперируется понятиями: высказывание, предикат, логические операции (логические функции, кванторы). В ней доказываются теоремы, приобретающие затем силу логических законов, применяя которые, можно преобразовать систему из одного описания в другое с целью ее совершен-

ствования, например, получить более простую структуру (схему), содержащую меньшее число состояний, элементов, но осуществляющую требуемые функции. Теоремы доказываются и используются в рамках формального логического базиса, который определяется совокупностью спе-

циальных правил.

Логические методы представления систем относятся к детерминистским, хотя возможно и их расширение в сторону вероятностных оценок.

44

На базе математической логики созданы и развиваются теории логического анализа и синтеза, теория автоматов. На основе логических представлений первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории формальных языков.

В силу ограниченности смысловыражающих возможностей бинарной алгебры логики в последнее время имеются попытки создания многозначных алгебр логики с соответствующими логическими базисами и теоремами.

Применяются логические методы при исследовании новых структур систем разнообразной природы (технических объектов, текстов и т.д.), в которых характер взаимодействия между элементами еще не на столько ясен, чтобы было возможно их представление аналитическими методами, а статистические исследования либо затруднены, либо не привели к выявлению устойчивых закономерностей. В то же время следует иметь в виду, что с помощью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а лишь те, которые предусмотрены законами алгебры логики и подчиняются требованиям логического базиса.

Логические представления нашли широкое практическое применение при исследовании и разработке автоматов, автоматических систем контроля, а также при решении задач распознавания образов и в экспертных системах. Логические представления лежат в основе теории алгоритмов. На их базе развиваются прикладные разделы теории формальных языков. В то же время смысловыражающие возможности логических методов ограничены базисом и функциями алгебры логики и не всегда позволяют адекватно отобразить реальную проблемную ситуацию.

5. Лингвистические, семиотические представления. Лингвистиче-

ские представления (рис. 2.6) базируются на понятиях тезауруса Т (множество смысловыражающих элементов языка с заданными смысловыми отношениями; тезаурус характеризует структуру языка), грамматики G (правил образования смысловыражающих элементов разных уровней тезауруса), семантики (смыслового содержания формируемых фраз, предложений и других смысловыражающих элементов) и прагматики (смысла для данной задачи, цели).

Семиотические представления базируются на понятиях: знак, знаковая система, знаковая ситуация. Семиотика возникла как наука о знаках в широком смысле. Однако наиболее широкое практическое применение нашло направление лингвистической семиотики, которое, наряду с основными понятиями семиотики (знак, знаковая система, треугольник Фреге и т.д.) широко пользуется некоторыми понятиями математической лингвистики (тезаурус, грамматика и т.д.). С теоретической точки зрения, границу между лингвистическими и семиотическими представлениями при разработке языков моделирования можно определить характером правил грамматики (если правила не охватывают классификацией правил вывода формальных грамматик Н. Хом-

45

ского, то модель удобнее отнести к семиотической и применять принципы ее анализа, предлагаемые семиотикой). Для практических приложений модели лингвистических и семиотических представлений можно рассматривать как один класс методов формализованного представления систем.

Лингвистические и семиотические представления возникли и развиваются в связи с потребностями анализа текстов и языков. Однако в последнее время эти представления начинают широко применяться для отображения и анализа процессов в сложных системах в тех случаях, когда не удается применить сразу аналитические, статистические представления или методы формальной логики.

В частности, такие представления являются удобным аппаратом для первого этапа постепенной формализации задач принятия решений в плохоформализуемых ситуациях. На их основе разрабатывают языки моделирования, автоматизации проектирования и т.д.

Что касается недостатков методов, то при усложнении языка моделирования, при применении правил произвольных грамматик Хомского или правил лингвистической семиотики трудно гарантировать правильность получаемых результатов, возникают проблемы алгоритмической разрешимости, возможно появление парадоксов.

2.3 Методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов

К рассматриваемым ниже подходам и методам специалисты прибегают в тех случаях, когда не могут сразу описать рассматриваемую проблемную ситуацию аналитическими зависимостями или выбрать тот или иной из рассмотренных выше методов принятия решения.

Методы типа «мозговой атаки» или коллективной генерации идей. Концепция мозгового штурма и мозговой атаки получила широкое

46

распространение с начала 50-х годов. Мозговая атака основана на гипотезе, что среди большого числа идей имеется, по меньшей мере, несколько хороших, полезных для решения проблемы, которые нужно выявить. Методы этого типа известны также под названием коллективной генерации идей, конференций идей,

метода обмена мнениями. Обычно при проведении мозговой атаки или сессии стараются выполнить определенные правила, суть которых сводится к тому, чтобы обеспечить как можно большую свободу мышления участников и высказывания ими новых идей. Для этого рекомендуется сформулировать проблему в основных терминах, выделив центральный пункт обсуждения, высказывать и подхватывать любые идеи, даже если они вначале кажутся сомнительными или абсурдными, не допускать критики, не прекращать обсуждать ни одну идею, высказывать как можно больше идей (желательно нетривиальных), стараться создать как бы цепные реакции идей, оказывать поддержку и поощрения, необходимые для того, чтобы освободить участников от скованности.

В зависимости от принятых правил и жесткости их выполнения различают прямуюмозговуюатаку, методобменамнениями, методтипакомиссий, судов.

Методы типа «сценариев». Методы подготовки и согласования представлений о проблеме или анализируемом объекте, изложенных в письменном виде, получили название сценариев. Это любой документ, содержащий анализ рассматриваемой проблемы и предложения по ее решению или по развитию системы, независимо от того, в какой форме он представлен.

Как правило, на практике предложения для подготовки подобных документов пишутся экспертами вначале индивидуально, а затем формируется согласованный текст.

Сценарий предусматривает не только содержательные суждения, помогающие не упустить детали, которые невозможно учесть в формальной модели (в этом собственно и заключается основная роль сценариев), но и содержит, как правило, результаты количественного технико-экономического или статистического анализа с предварительными выводами. Роль специалистов по системному анализу при подготовке сценария – помочь привлекаемым ведущим специалистам соответствующих областей знаний выявить общие закономерности развития системы; проанализировать внешние и внутренние факторы, влияющие на ее развитие и формулирование целей; провести анализ высказываний ведущих специалистов. В настоящее время в сценарий вводят и количественные параметры и устанавливаются их взаимосвязи, предлагаются методики целевого управления подготовкой сценария.

Сценарий позволяет создать предварительное представление о проблеме (системе) в ситуациях, которые не удается сразу отобразить формальной моделью. Однако сценарий – это все тот же текст, да еще с последствиями (синонимия, парадоксы, отношения) неоднозначного толкования. Поэтому это всего лишь основа для дальнейшей формализации.

Методы структуризации. Структурные представления разного рода позволяют разделить сложную проблему с большой неопределенностью на

47

более мелкие, лучше поддающиеся исследованию, что само по себе можно рассматривать как некоторый метод исследования, именуемый иногда сис- темно-структурным. Виды структур, получаемые путем расчленения системы во времени (сетевые структуры) или в пространстве (иерархические структуры разного рода, матричные структуры) были рассмотрены в 1.3. Методы структуризации являются основой любой методики системного анализа, любого сложного алгоритма организации проектирования или принятия управленческого решения.

Методы типа «дерева целей». Термин «дерево» подразумевает использование иерархической структуры, получаемой путем расчленения общей цели на подцели, а их, в свою очередь, на более детальные составляющие, т.е. на подцели нижележащих уровней, направления, проблемы, а с некоторого уровня − функции.

При использовании метода «дерево целей» в качестве средства принятия решений часто применяют термин «дерево решений». При применении метода для выявления и уточнения функций системы управления говорят о «дереве целей и функций». При структуризации тематики научноисследовательских организаций пользуются термином «дерево проблемы», а при разработке прогнозов – «дерево направлений развития (прогнозирования развития)» или «прогнозный граф».

Методы экспертных оценок. Основные положения методов экспертных оценок заключаются в следующем:

1)проблемы формирования экспертных групп, включая требования к экспертам, размеры группы, вопросы тренировки экспертов, оценки их компетентности;

2)формы экспертного опроса (разного рода анкетирования, интервью, смешанные формы опроса) и методики организации опроса (в т.ч. методики анкетирования, мозговая атака, деловые игры и т.д.);

3)подходы к оцениванию (ранжирование, нормирование, различные виды упорядочения в т.ч. методы предпочтений, попарных сравнений и т.д.);

4)методы обработки экспертных оценок;

5)способы определения согласованности мнений экспертов, достоверность экспертных оценок (в т.ч. статистические методы оценки дисперсии, оценки вероятности для заданного диапазона изменений оценок, оценка ранговой корреляции Кендалла и т.д.).

При обработке индивидуальных экспертных оценок применяется обычно метод согласования оценок, который имеет много вариантов, различающихся способами, при помощи которых получают обобщенную оценку.

Предположим, например, что эксперты оценивают альтернативы в чи-

словых шкалах. Пусть qj (xi) – оценка i-той альтернативы j-том экспертом

(i=1,m, j=1, n). Оценки qj (xi), q2 (xi), … , qn (xi) можно рассматривать как «из-

мерения» искомой «истинной характеристики» q (xi), считая отклонения qj (xi)

-q (xi) случайными величинами. В качестве приближения можно использо-

48

вать некоторую статистику q (xi)=q( q1 (xi), q2 (xi), … , qn (xi)); обычно это выборочное среднее q (xi)=(1/n)∑ qj (xi), хотя можно использовать и другие статистики.

Сложнее обстоит дело, когда альтернативы нельзя оценить сразу одним числом и экспертам предлагается дать оценки отдельно по каждому показателю. Например, оценка товара по признакам экономическим, эстетическим, функциональным и т.д. В этом случае имеем набор чисел qjk (xi), где к − номер признака. Кроме этих чисел, экспертов просят оценить степень важности λjk каждого показателя. Тогда q(xi)=(1/n)ΣΣ λjk qjk (xj).

Следующее уточнение вводят в случае неоднородности группы экспертов. Естественно придать различные (а не одинаковые, равные 1/n) веса мнениям экспертов, имеющих разную квалификацию. Определение коэффициента αj компетентности j-го эксперта можно поручить самим экспертам. Пусть каждый из них (l-й) оценивает компетентность других числами

0≤αlj ≤1 (при этом и свою − числом αll). Усреднение дает αj =Σ(αlj /Σαls ). В результате получают итоговую оценку q(xi)=ΣΣ αj λjk qjk (xj).

В тех случаях, когда эксперты лишь упорядочивают альтернативы, т.е. используют только порядковую шкалу, возможность арифметических операций отпадает. Тогда переходят к обработке либо относительных частот предпочтений альтернативы, либо рангов.

Методы типа «Дельфи». Метод «Дельфи» или метод «дельфийского оракула» был предложен Л. Хелмером как альтернативная процедура при проведении мозговой атаки. Однако почти одновременно «Дельфи»- процедуры стали средством повышения объективности экспертных опросов с использованием количественных оценок при сравнительном анализе составляющих «деревьев целей» и при разработке «сценариев». Основные средства повышения объективности результатов при применении метода «Дельфи» - использование обратной связи, ознакомление экспертов с результатами предшествующего тура опроса и учет этих результатов при оценке значимости мнений экспертов. В конкретных методиках, реализующих процедуру «Дельфи», эта идея используется в разной степени. Например, достаточно следующих четырех этапов:

1)раздача анкет, сбор оценок, их обобщенное представление с указанием разбора мнений;

2)сообщение итогов и запрос объяснений причин индивидуального отклонения от средней или медианной оценки первой итерации;

3)сообщение всех объяснений и запрос контраргументов на них;

4)сообщение возражений и запрос новых оценок альтернатив, если эксперт пожелает их изменить; нахождение окончательного итога.

Вся работа проводится под руководством отдельной управляющей группы, в которую входят системный аналитик и лицо принимающее решения; анонимность экспертов сохраняется до конца работы (а по желанию и