attachments_02-06-2012_18-13-05 / МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ РЕШЕНИЕ

ВАРИАНТ №1

Задание №1. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей

Имеет ли игра седловую точку?

Решение. Найдем минимальные значения по строкам платежной матрицы

, ,

Найдем нижнюю цену игры .

Нижней цене игры соответствует третья стратегия первого игрока, т.к. .

Найдем максимальные значения по столбцам платежной матрицы

, , .

Найдем верхнюю цену игры .

Верхней цене игры соответствуют вторая стратегия второго игрока, т.к. .

Данная игра не имеет седловой точки, т.к. верхняя цена игры не равна нижней цене игры.

Задание №2. Решить графически игру, заданную платежной матрицей

Решение. Упростим данную платежную матрицу. Вторая стратегия первого игрока (вторая строка платежной матрицы )заведомо не выгодна по сравнению с первой стратегией , т.к. ее элементы (выигрыши первого игрока) не больше соответствующих элементов первой строки. Поэтому вторую строку можно исключить из платежной матрицы. Таким образом, получаем .

Пусть - вероятность первой стратегии второго игрока, - вероятность второй стратегии второго игрока, .

Если первый игрок использует свою первую стратегию, то проигрыш второго игрока составит .

Если первый игрок использует свою третью стратегию, то проигрыш второго игрока составит .

Если первый игрок использует свою четвертую стратегию, то проигрыш второго игрока составит .

Нанесем прямые , , на координатную плоскость

y
10
9		(1)
8
7
6
5
4
3
2
1
0	 1	x
		(3)
		(2)

Второй игрок старается получить свой минимальный гарантированный проигрыш, т.е. из всех максимальных проигрышей (выделенная область) он выбирает минимальный , который соответствует вероятности . Найдем значение - как абсциссу точки пересечения прямых (1) и (2), которые соответствуют первой и третьей стратегиям второго игрока:

Следовательно, .

Поэтому оптимальная смешанная стратегия второго игрока , цена игры .

Пусть - вероятность первой стратегии первого игрока, - вероятность третьей стратегии первого игрока, - вероятность четвертой стратегии первого игрока. В определении оптимальной смешанной стратегии второго игрока не участвовала четвертая стратегия первого игрока, поэтому .

Учитывая, что , запишем выигрыши первого игрока при условии первой и второй стратегий второго игрока:

и

Нанесем прямые , на координатную плоскость

y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
	0 	1 x

Первый игрок старается получить свой максимальный гарантированный выигрыш, т.е. из всех минимальных выигрышей (выделенная область) он выбирает максимальный , который соответствует вероятности . Найдем значение - как абсциссу точки пересечения прямых

Следовательно, .

Поэтому оптимальная смешанная стратегия второго игрока , цена игры .

Задание №5. Построить граф состояний следующего случайного процесса: система состоит из двух автоматов по продаже газированной воды, каждый из которых в случайный момент времени может быть занятым или свободным.

Решение. Пусть состояние - оба автомата свободны, - один автомат занят, - два автомата заняты.

Тогда граф случайного процесса имеет вид

S0

S1

S2

Задание №6. Найти предельные вероятности для системы S, граф которой изображен на рисунке.

Решение. Составим систему уравнений по данному графу

Задание №7. Найти валовой выпуск для сбалансированной многоотраслевой экономике в модели Леонтьева, если дана матрица прямых затрат А и вектор конечного

потребления У:

Решение. Вычислим

Найдем :

- вычислим определитель матрицы

- вычислим алгебраические дополнения для всех элементов данной матрицы

Запишем матрицу , элементами которой являются найденные алгебраические дополнения

Найдем транспонированную матрицу (строки становятся столбцами, а столбцы – строками)

Найдем обратную матрицу

Видим, что матрица существует и неотрицательна. Поэтому делаем вывод о продуктивности технологической матрицы.

_{Найдем вектор валовой продукции по формуле}

18