Applied regression analysis / Praktic / 2 / praktika2
.pdf
Красоткина
О.В.
Вероятностные модели посещаемости курса
Теоретические
сведения
Задание
к.ф.-м.н., доцент Красоткина О.В.
Тульский государственный университет
Прикладной регрессионый анализ Практическое занятие 1
Тула, 2013
Красоткина О.В.
План
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
1 Теоретические сведения
2 Задание
Красоткина О.В.
Биноминальное распеределение
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
Красоткина О.В.
Постановка задачи
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
Рассмотрим модель посещаемости студентами одного курса лекции.
Пусть аудитория данного курса состоит из студентов профильной кафедры, а также студентов других кафедр. Обозначим через a количество студентов, распределившихся на профильную кафедру, а через b - количество студентов других кафедр на курсе. Пусть студенты профильной кафедры посещают курс с некоторой вероятностью p1, а студенты остальных кафедр - с вероятностью p2. Обозначим через c количество студентов на данной лекции. Тогда случайная величина cja; b есть сумма двух случайных величин, распределенных по биномиальному закону B(a; p1) и B(b; p2) соответственно.
Красоткина О.В.
Постановка задачи
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
Пусть далее на лекции по курсу ведется запись студентов. При этом каждый студент записывается сам, а также, быть может, записывает своего товарища, которого на лекции на самом деле нет. Пусть студент записывает своего товарища с некоторой вероятностью p3. Обозначим через d общее количество записавшихся на данной лекции. Тогда случайная величина djc представляет собой сумму c и случайной величины, распределенной по биномиальному закону B(c; p3). Для завершения задания вероятностной модели осталось определить априорные вероятности для a и для b. Пусть обе эти величины распределены равномерно в своих интервалах [amin; amax ] и [bmin; bmax ].
Красоткина О.В.
Модель 1
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
p(a; b; c; d) = p(djc)p(cja; b)p(a)p(b), djc c + B(c; p3),
cja; b B(a; p1) + B(b; p2),
a R[amin; amax ],
b R[bmin; bmax ].
Красоткина О.В.
Модель 2: Упрощенная версия модели 1
Красоткина
О.В.
Рассмотрим несколько упрощенную версию модели 1.
Теоретические
сведения Известно, что биномиальное распределение B(n; p) при Задание большом количестве испытаний и маленькой вероятности
успеха может быть с высокой точностью приближено пуассоновским распределением Poiss( ) с = np. Известно также, что сумма двух пуассоновских распределений с параметрами 1 и 2 есть пуассоновское распределение с параметром 1 + 2. Таким образом, мы можем сформулировать вероятностную модель, которая является приближенной версией модели 1:
Красоткина О.В.
Модель 2: Упрощенная версия модели 1
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание |
p(a; b; c; d) = p(djc)p(cja; b)p(a)p(b), |
|
|
|
djc c + B(c; p3), |
|
cja; b Poiss(ap1 + bp2), |
|
a R[amin; amax ], |
|
b R[bmin; bmax ]. |
Красоткина О.В.
Модель 3
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
Рассмотрим теперь модель посещаемости нескольких лекций курса. Будем считать, что посещаемости отдельных лекций являются независимыми. Тогда:
p(a; b; c1; : : : ; cN ; d1; : : : ; dN ) =
QN p(dnjcn)p(cnja; b)p(a)p(b),
n=1
dnjcn cn + B(cn; p3),
cnja; b B(a; p1) + B(b; p2),
a R[amin; amax ],
b R[bmin; bmax ].
Красоткина О.В.
Модель 4
Красоткина
О.В.
Теоретические
сведения
Задание
По аналогии с моделью 2 можно сформулировать упрощенную модель для модели 3
p(a; b; c1; : : : ; cN ; d1; : : : ; dN ) =
QN p(dnjcn)p(cnja; b)p(a)p(b),
n=1
dnjcn cn + B(cn; p3),
cnja; b Poiss(ap1 + bp2),
a R[amin; amax ],
b R[bmin; bmax ].
Красоткина О.В.