Applied regression analysis / Praktic / 2 / TSWLatexianTemp_000234

\documentclass{beamer}
\usepackage[russian	]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{beamerthemesplit}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{inputenc}
%\usetheme{Warsaw}
\usetheme{Berkeley}
%\usetheme{Frankfurt}
%\usetheme[numbers, totalnumbers, minimal, nologo]{Statmod}

\begin{document}

	\title[]{Матричные операции}
	\subtitle{}
	\author[Красоткина О.В.
	]{к.ф.-м.н., доцент Красоткина О.В.}
	\institute{
		Тульский государственный университет\\
		\vspace{0.7cm}
	}
	\date{Прикладной регрессионый анализ \\ Практическое занятие №1 \\ Тула,  2013}
	\frame{\titlepage}
	
	\begin{frame}
		\frametitle{План}
		\tableofcontents
	\end{frame}
	
	\section{Теоретические сведения}
	\begin{frame}{Обозначения}
	   \begin{block}{Объект исследования}
 Задача оценивания положения сайта в результате поискового запроса -  это пример задачи, в которой целевая переменная принадлежит некоторому множеству с введенным на нем отношением порядка таким образом, что объекты обучающей выборки оказываются упорядоченными в соответствии со значением целевой переменной. 
       \end{block}
       \begin{block}{Предмет исследования}
         \begin{itemize}
			    \item предсказание положения сайта в результате поискового запроса  по известному вектору признаков;
             \item выделение среди всего множества факторов тех, которые непосредственно влияют на положение сайта
         \end{itemize}
	     \end{block}
	\end{frame}

  \section{Задание }
\begin{frame}{Вариант 1}
\begin{itemize}
\item
Доказать, что $\frac{\partial}{\partial x}A^{-1} = -A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x}A^{-1}$ Здесь $x$ — скалярная переменная.
\item
 Доказать тождество Вудберри: $(A+UCV)^{-1}=A^{-1} - A^{-1}U(C^{-1}+VA^{-1}U)^{-1}VA^{-1}$. Здесь $U, V$ — прямоугольные матрицы. ''Подсказка: для доказательства достаточно просто перемножить две матрицы и убедиться, что их произведение равно единичной матрице.''
\item
 Пусть $\bf{x}=[\bf{x}_a; \bf{x}_b]$ и $p(\bf{x})=\mathcal{N}(\bf{x}|\boldsymbol{\mu},\Sigma)$. Доказать, что $p(\bf{x}_a|\bf{x}_b)=\mathcal{N}(\bf{x}_a|\boldsymbol{\mu}_a-\Lambda_{aa}^{-1}\Lambda_{ab}(\boldsymbol{x}_b-\boldsymbol{\mu}_b),\Lambda_{aa}^{-1})$.
\end{itemize}
\end{frame}
  
\begin{frame}{Вариант 2}
\begin{itemize}
\item
Доказать, что $\frac{\partial}{\partial A}tr(ABAC) = C^TA^TB^T + B^TA^TC^T$ 


\item
 Вычислить $\mathbb{E}_{\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma)}(\vec{x}-\vec{a})^TB(\vec{x}-\vec{a}) = \int(\vec{x}-\vec{a})^TB(\vec{x}-\vec{a})\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma)d\vec{x}$. Здесь матрица $B$ является симметричной и положительно определенной.

\item
 Пусть $p(\vec{x})=\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu},\Sigma),\ p(\vec{y}|\vec{x})=\mathcal{N}(\vec{y}|A\vec{x},\Gamma)$. Доказать, что $p(\vec{y})=\mathcal{N}(\vec{y}|A\vec{\mu},\Gamma+A\Sigma A^T)$.
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}{Вариант 3}
\begin{itemize}
\item
Доказать, что $\frac{\partial}{\partial x}\log\det A = tr(A^{-1}\frac{\partial A}{\partial x})$. Здесь $x$ — скалярная переменная. ''Подсказка: использовать разложение определителя матрицы по строке.''


\item
 Доказать, что оценка максимального правдоподобия для матрицы ковариации $\Sigma$ нормального распределения равна $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N(\vec{x}_n-\vec{\mu})(\vec{x}_n-\vec{\mu})^T$. ''Подсказка: дифференцировать функцию правдоподобия по матрице точности $\Lambda=\Sigma^{-1}$.''
\item
 Пусть  $p(\vec{x})\propto\frac{\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu}_1,\Sigma_1)\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu}_2,\Sigma_2)}{\mathcal{N}(\vec{x}|\vec{\mu}_3,\Sigma_3)}$. Найти $p(\vec{x})$.

\end{itemize}
\end{frame} 
   
 
\end{document}