Архив / Вычисление предела функции по определению

Вычисление предела функции по определению.

Задача 1.

Доказать, что .

Решение.

Пусть - произвольное положительное число.

Составим неравенство согласно определению предела функции

(1) = =

= или

(2) .

В качестве можно взять . В силу равносильности (1) и (2) из неравенства будет следовать неравенство (1).

Задача 2.

Доказать, что последовательность с общим членом имеет предел, равный 1.

Решение.

Выберем произвольное положительное число и покажем, что для него можно определить такое натуральное число , что для всех номеров будет выполняться неравенство :

. Выражение под знаком модуля положительно, поэтому последнее неравенство имеет вид

.

Следовательно, если номер будет больше, чем , то неравенство будет выполняться. При этом за число принимаем наибольшее целое число, содержащееся в числе .