Архив / Замечательные пределы

Предел функции при 0 (Первый замечательный предел).

Для функции в точке имеет место неопределенность . Найдем предел этой функции при 0. Будем использовать признак существования предела (а).

Рассмотрим окружность радиуса . Обозначим центральный угол MOB через , при этом 0 < < . В результате получаем оценку для площадей:

C Площадь _∆MOA < площади сектора MOA < площади _∆COA.

M Площадь _∆MOA = OA MB = 1 MB = .

O B A Площадь сектора MOA = OA = 1.

Площадь _∆COA = OAAC = 1 =.

Из оценки для площадей следует оценка для функций: < < .

Разделим все последнего соотношения на :

1 < < или < < 1.

Это неравенство справедливо в предположении, что > 0. Но в силу четности:

= и = , заключаем, что оно верно и при < 0.

С учетом того, что , , переменная заключена между двумя величинами, имеющими один и тот же предел, равный 1. По признаку существования предела = 1.

Второй замечательный предел .

Для последовательности с общим членом при имеет место неопределенность , раскрывая которую получаем предел, заключенный между числами 2 и 3 .

Доказательство основано на признаке существования предела (б). Поэтому требуется установить, что члены последовательности монотонно возрастают, и последовательность ограничена сверху.

Для доказательства монотонности используем формулу бинома Ньютона, и получаем для общего члена последовательности выражение:

= 1 + + + + +

+

= 1 + 1 + + + +

+ .

Из последнего равенства видно, что каждый последующий член этой последовательности по сравнению с предыдущим содержит еще одно положительное слагаемое. Кроме того, каждое слагаемое в выражении для больше соответствующего слагаемого в выражении : . Следовательно, , то есть последовательность является возрастающей.

Для доказательства ограниченности сверху данной последовательности заметим, что каждое выражение в скобках в соотношении (*) меньше единицы:

; < 1 ….. . Поэтому для общего члена последовательности получаем оценку:

< 1 + 1 + + + + ;

< , < , , < ;

< 1 + 1 + + + + .

Выражение 1 + + + + представляет сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем q = и первым членом 1. Используя формулу суммы геометрической прогрессии, приходим к неравенству:

< 1 + = 1 + < 3.

С учетом неравенства 2 ( следует из (*)) получаем оценку

2 < 3.

По признаку существования предела, если последовательность монотонно возрастает и ограничена, то она имеет предел. Этот предел обозначается буквой :

.

Число- иррациональное число, равное = 2,7182818284…