6. Задача, двойственная к транспортной.

Построим задачу, двойственную к транспортной. С этой целью вспомним, что каждому пункту отправления и назначенияотвечает определенное огра­ничение

(6.1)

В то же время каждому ограничению из (6.1) сопоставляется определенная неизвестная в двойствен­ной задаче. Тем самым устанавливается соответствие между всеми пунктами ии всеми неиз­вестными двойственной задачи.

Обозначим неизвестную в двойственной задаче, отвечаю­щую пункту отправления , через, а пункту назначения– через.

Каждому неизвестному в транспортной задаче соответ­ствует ограничение, связывающее неизвестные в двойственной задаче. Неизвестное входит ровно в два ограничения системы (6.1): одно из них отвечает пункту, а другое – пункту. В обоих этих уравнениях коэффициент приравен 1. Поэтому соответствующееограничение в двой­ственной задаче имеет вид

(6.2)

.

Правая часть неравенства (6.2) равна , потому что именно с этим коэффициентом неизвестнаявходит в миними­зируемую формулу (2.4).

Оптимизируемая форма двойственной задачи имеет вид

(6.3)

Таким образом, задача двойственная к транспортной форму­лируется следующим образом. При ограничениях (6.2) макси­мизировать формулу (6.3). Подчеркнем, что знак значений неиз­вестных иможет быть произвольным.

Предположим, что нам известно некоторое допустимое базисное решение транспортной задачи, в котором все базис­ные неизвестные строго положительны. Это решение оптимально лишь в том случае, когда соответствующая ей система оказывается совместной. Эта система возникает из системы (6.2), если в ней все неравенства, отвечающие базисным неизвестным заменить точными равенствами.

В итоге приходим к соотношению:

(для всех свободных неизвестных )

(6.4)

Тем самым мы убеждаемся, что признак оптимальности в работе по методу потенциалов совпадает с необходимым и достаточ­ным условием оптимальности.

7.Пример решения транспортной задачи.

В городе N имеется 4 склада А_i, на которых хранится ткань (в рулонах) и 5 магазинов B_j, занимающихся продажей ткани. Ниже, в таблице, приведены данные по количеству рулонов на каждом складе, запросы магазинов и стоимость перевозки одного рулона из А_i в B_j. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы магазинов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок.

Магазины Склад	B1 (b1=40)	B2 (b2=50)	B3 (b3=15)	B4 (b4=75)	B5 (b5=40)
А1 (а1=50)	1,0	2,0	3,0	2,5	3,5
А2(а2=20)	0,4	3,0	1,0	2,0	3,0
А3(а3=75)	0,7	1,0	1,0	0,8	1,5
А4(а4=80)	1,2	2,0	2,0	1,5	2,5

В данном случае Σa_i=225 >Σb_j=220 => имеем дело с открытой моделью транспортной задачи. Сведем ее к закрытой введением фиктивного магазина B₆ с потребностью b₅=225-220=5 и стоимостью перевозок с_i6=0.Имеем таблицу:

Магазины Склад	B1 (b1=40)	B2 (b2=50)	B3 (b3=15)	B4 (b4=75)	B5 (b5=40)	B6 (b6=5)
А1 (а1=50)	1,0	2,0	3,0	2,5	3,5	0
А2(а2=20)	0,4	3,0	1,0	2,0	3,0	0
А3(а3=75)	0,7	1,0	1,0	0,8	1,5	0
А4(а4=80)	1,2	2,0	2,0	1,5	2,5	0

Математическая модель: обозначим x_ij – количество товара, перевозимого из А_i в B_j. Тогда

x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₁₄ x₁₅ x₁₆

x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄ x₂₅ x₂₆

X = x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄ x₃₅ x₃₆ - матрица перевозок.

x₄₁ x₄₂ x₄₃ x₄₄ x₄₅ x₄₆

min(x₁₁+2x₁₂+3x₁₃+2,5x₁₄+3,5x₁₅+0,4x₂₁+3x₂₂+x₂₃+2x₂₄+3x₂₅+0,7x₃₁+x₃₂+x₃₃+0,8x₃₄+1,5x₃₅++1,2x₄₁+2x₄₂+2x₄₃+1,5x₄₄+2,5x₄₅) (1)

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄+x₁₅+x₁₆=50

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+x₂₅+x₂₆=20

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+x₃₅+x₃₆=75

x₄₁+x₄₂+x₄₃+x₄₄+x₄₅+x₄₆=80

x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁=40 (2)

x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂=50

x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃=15

x₁₄+x₂₄+x₃₄+x₄₄=75

x₁₅+x₂₅+x₃₅+x₄₅=40

x₁₆+x₂₆+x₃₆+x₄₆=5

x_ij≥0 (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3)

Двойственная ЗЛП:

max(50u₁+20u₂+75u₃+80u₄+40v₁+50v₂+15v₃+75v₄+40v₅+5v₆) (1*)

u₂+v₁≤0,4

u₂+v₂≤3

u₂+v₃≤1

u₂+v₄≤2

u₂+v₅≤3

u₂+v₆≤0

u₃+v₁≤0,7

u₃+v₂≤1

u₃+v₃≤1

u₃+v₄≤0,8

u₃+v₅≤1,5

u₃+v₆≤0

u₄+v₁≤1,2

u₄+v₂≤2

u₄+v₃≤2

u₄+v₄≤1,5

u₄+v₅≤2,5

u₄+v₆≤0

u₁+v₁≤1

u₁+v₂≤2

u₁+v₃≤3 (2*)

u₁+v₄≤2,5

u₁+v₅≤3,5

u₁+v₆≤0

u_i,v_j – произвольные (i=1,2,3,4 ; j=1,2,3,4,5,6 ) (3*)

Будем искать первоначальный план по методу наименьшей стоимости:

1) x₂₁=20 и 2-ую строку исключаем.2) x₃₁=20 и 1-ый столбец исключаем.

3) x₃₄=55 и 3-ю строку исключаем.4) x₄₄=20 и 4-ый столбец исключаем.

5) x₁₂=50 и 1-ю строку и 2-ой столбец исключаем и x₃₂=0. 6) x₄₃=150 и 3-ий столбец исключаем.7) x₄₅=40 и 5-ый столбец исключаем.x₄₆=5.Составим таблицу. Здесь и далее в нижнем правом углу записываем значение перевозки.

Магазины Склад		B1 (b1=40)		B2 (b2=50)		B3 (b3=15)		B4 (b4=75)		B5 (b5=40)	B6 (b6=5)
А1 (а1=50)		1,0		2,0 50		3,0		2,5		3,5	0
20 А2(а2=20) 0,4	3,0		1,0		2,0		3,0		0
0,8 20 1,0 0 55 А3(а3=75) 0,7 1,0	1,5		0
А4(а4=80)		1,2		2,0		2,0 15		1,5 20		2,5 40	0 5

Стоимость 1-ого плана:

D₁=2•50+0,4•20+0,7•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=326.

Будем улучшать этот план методом потенциалов: u_i- потенциал А_i ,v_j- потенциал B_j. Тогда u₁+v₂=2,u₂+v₁=0,4, u₃+v₁=0,7, u₃+v₂=1, u₃+v₄=0,8, u₄+v₃=2, u₄+v₄=1,5, u₄+v₅=2,5 ,u₄+v₆=0.Положим u₁=0,тогда v₂=2,u₃=-1,v₁=1,7,v₄=1,8, u₂=-1,3,u₄=-0,3, v₃=2,3,v₅=2,8,v₆=0,3.Составим таблицу:

Магазины Склад		B1 (b1=40) v1=1,7	B2 (b2=50) v2=2	B3 (b3=15) v3=2,3	B4 (b4=75) v4=1,8	B5 (b5=40) v5=2,8	B6 (b6=5) v6=0,3
А1 (а1=50) 0,7 U1=0		1,0 0	2,0 50 - 0,7	3,0 - 0,7	2,5 - 0,7	3,5 0,3	0
3,0 0 2,0 - 2,3 1,0 20 3,0 0 0,4 - 1,5 А2(а2=20) - 1 U2=-1,3 - 1,5	0
1,5 0 0,8	0
А4(а4=80) 0,2 U4=-0,3		1,2 - 0,3	2,0 0	2,0 15 0	1,5 20 0	2,5 40 0	0 5

В верхнем левом углу здесь и далее записываем значение u_i+v_j-c_ij. Имеем: u₁+v₁--c₁₁ =0,7>0, u₁+v₆-c₁₆ =0,3>0, u₃+v₃-c₃₃ =0,3>0, u₃+v₅-c₃₅ =0,3>0,

u₄+v₁-c₄₁ =0,2>0. => По критерию оптимальности, первый план не оптимален. Далее max(0,7;0,3;0,3;0,3;0,2)=0,7. => Поместим перевозку в клетку А₁В₁, сместив 20=min(20,50) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u₁+v₁=1,u₁+v₂=2,u₂+v₁=0,4,u₃+v₂=1, u₃+v₄=0,8, u₄+v₃=2, u₄+v₄=1,5, u₄+v₅=2,5 , u₄+v₆=0. Положим u₁=0,тогда v₁=1,u₂=-0,6,v₂=2,v₄=1,8, u₃=-1, u₄=-0,3,v₃=2,3,v₅=2,8,v₆=0,3. Составим таблицу:

Магазины Склад		B1 (b1=40) v1=1	B2 (b2=50) v2=2	B3 (b3=15) v3=2,3	B4 (b4=75) v4=1,8	B5 (b5=40) v5=2,8	B6 (b6=5) v6=0,3
А1 (а1=50) 0 U1=0		1,0 0 20	2,0 30 - 0,7	3,0 - 0,7	2,5 - 0,7	3,5 0,3	0
3,0 0 2,0	0
1,5 -0,7 0,8 0	0
А4(а4=80) -0,5 U4=-0,3		1,2 - 0,3	2,0 0	2,0 15 0	1,5 20 0	2,5 40 0	0 5

Стоимость 2-ого плана:

D₂=1•20+2•30+0,4•20+1•20+0,8•55+2•15+1,5•20+2,5•40=312.

Имеем:u₁+v₆-c₁₆ =0,3>0, u₂+v₃-c₂₃ =0,7>0, u₃+v₃-c₃₃ =0,3>0, u₃+v₅-c₃₅ =0,3>0. => По критерию оптимальности, второй план не оптимален. Далее max(0,3;0,7;0,3;0,3)=0,7 => Поместим перевозку в клетку А₂В₃, сместив 15=min(20,30,55,15) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Найдем потенциалы: u₁+v₁=1,u₁+v₂=2,u₂+v₁=0,4,u₃+v₂=1, u₃+v₄=0,8, u₂+v₃=1, u₄+v₄=1,5, u₄+v₅=2,5 , u₄+v₆=0. Положим u₁=0,тогда v₁=1,u₂=-0,6,v₂=2,v₄=1,8, u₃=-1, u₄=-0,3,v₃=1,6, v₅=2,8, v₆=0,3. Составим таблицу:

Магазины Склад		B1 (b1=40) v1=1	B2 (b2=50) v2=2	B3 (b3=15) v3=1,6	B4 (b4=75) v4=1,8	B5 (b5=40) v5=2,8	B6 (b6=5) v6=0,3
А1 (а1=50) 0 U1=0		1,0 0 35	2,0 15 -1,4	3,0 - 0,7	2,5 - 0,7	3,5 0,3	0
3,0 0 2,0 - 1,6 1,0 0 3,0 15 0,4 - 0,8 А2(а2=20) - 0,3 U2=-0,6 - 0,8 5	0
1,5 0 0,8 0 1,0 35 -0,4 -0,7	0
А4(а4=80) -0,5 U4=-0,3		1,2 - 0,3	2,0 -0,7	2,0 0	1,5 35 0	2,5 40 0	0 5

Стоимость 3-его плана:

D₃=1•35+2•15+0,4•5+1•15+0,8•40+1•35+1,5•35+2,5•40=301,5.

Имеем:u₁+v₆-c₁₆ =0,3>0,u₃+v₅-c₃₅ =0,3>0. => По критерию оптимальности, третий план не оптимален. Далее max(0,3;0,3)=0,3. => Поместим перевозку в клетку А₃В₅, сместив 40=min(40,40) по циклу, указанному в таблице штрихом. Получим новую таблицу. Чтобы 4-ый план был невырожденным, оставим в клетке А₄В₅ нулевую перевозку. Найдем потенциалы: u₁+v₁=1,u₁+v₂=2,u₂+v₁=0,4,u₃+v₂=1, u₄+v₅=2,5, u₂+v₃=1, u₄+v₄=1,5, u₃+v₅=1,5 , u₄+v₆=0. Положим u₁=0,тогда v₁=1,u₂=-0,6,v₂=2,v₄=1,5, u₃=-1,u₄=0, v₃=1,6, v₅=2,5, v₆=0. Составим таблицу:

Магазины Склад		B1 (b1=40) v1=1	B2 (b2=50) v2=2	B3 (b3=15) v3=1,6	B4 (b4=75) v4=1,5	B5 (b5=40) v5=2,5	B6 (b6=5) v6=0
А1 (а1=50) 0 U1=0		1,0 0 35	2,0 15 - 1,4	3,0 - 1	2,5 - 1	3,5 0	0
3,0 0 2,0 - 1,6 1,0 0 3,0 15 0,4 - 1,1 А2(а2=20) - 0,6 U2=-0,6 - 1,1 5	0
1,5 0 0,8 -0,4 1,0 35 1,0 0 0,7 40 А3(а3=75) - 1 U3=-1 -0,3 -0,7	0
А4(а4=80) -0,2 U4=0		1,2 0	2,0 -0,4	2,0 0	1,5 75 0	2,5 0 0	0 5

Стоимость 4-ого плана: D₄=1•35+2•15+0,4•5+1•15+1•35+1,5•40+1,5•75=289,5.

Для всех клеток последней таблицы выполнены условия оптимальности:

1)u_i+v_j-с_ij=0 для клеток, занятых перевозками;

2)u_i+v_j-с_ij ≤0 для свободных клеток.

Несодержательные ответы:

Прямой ЗЛП:

35 15 0 0 0 0

5 0 15 0 0 0

X = 0 35 0 0 40 0

0 0 0 75 0 5

min=289,5.

Двойственной ЗЛП:

U₁=0 ; U₂=-0,6 ; U₃=-1 ; U₄=0 ; V₁=1 ; V₂=2 ; V₃=1,6 ; V₄=1,5 ; V₅=2,5 ; V₆=0.

max=289,5.

Так как min=max, то по критерию оптимальности найдены оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП. Содержательный ответ: Оптимально перевозить так:

Из А₁ в B₁ – 35 рулонов полотна;

Из А₁ в B₂ – 15 рулонов полотна;

Из А₂ в B₁ – 5 рулонов полотна;

Из А₂ в B₃ – 15 рулонов полотна;

Из А₃ в B₂ – 35 рулонов полотна;

Из А₃ в B₅ – 40 рулонов полотна;

Из А₄ в B₄ – 75 рулонов полотна.

При этом стоимость минимальна и составит D_min=289,5. 5 рулонов полотна необходимо оставить на складе А₄ для их последующей перевозки в другие магазины.