synergy karetin 2007-200dpi

фракталам ещё одно свойство – дробную размерность. Размерность кривой Коха больше единицы, канторовой пыли – меньше единицы, треугольника Серпинского – меньше двух.

Дробная (или фрактальная, что одно и тоже) размерность – наравне с масштабной инвариантностью (самоподобием, неизменностью формы при различных масштабах) –

основные свойства фрактала. Размерность фрактальной линии – меньше или больше единицы, фрактальной плоскости – меньше или больше двух, фрактального объёма – больше или меньше трёх. Если размерность фрактальной линии больше единицы – она стремится заполнить собой плоскость (размерность кривой Гилберта, шаги построения которой приведены на рисунке 102 стремится к двум), также и плоскость с размерностью больше двух стремится заполнить трёхмерное пространство. Дробная размерность была введена Ф. Хаусдорфом ещё в начале XX века, она противопоставляется целочисленной размерности, называемой топологической.

Рис. 100. Построение кривой Коха.

Рис. 101. Построение треугольника Серпинского

101

должно удивлять, данное нами определение фрактала включает в себя наиболее типичные фрактальные структуры, но в этом мире странных геометрических созданий столько исключений, что исчерпывающее определение фрактала дать достаточно сложно.

Если фрактальную размерность абстрактного, математического фрактала можно точно рассчитать, исходя из самого алгоритма его построения, то как же определить фрактальную размерность природной формы, в которой мы предполагаем фрактальные свойства? Например, той же изрезанной береговой линии?

Фрактальная структура (в данном случае - линия берега) заключается в сеть квадратов определённого размера (рис. 105). Подсчитывается число квадратов, в которые попала структура, и определяется отношение десятичного логарифма числа квадратов, покрывших структуру, к десятичному логарифму длины стороны квадрата. На следующем шаге структура покрывается сетью более мелких квадратов. Разумеется, число квадратов, покрывающих структуру, увеличилось, а размер стороны уменьшился. Снова подсчитываем отношение логарифмов числа квадратов и длины их стороны. Эту процедуру проделываем несколько раз. Получившиеся значения, если структура действительно фрактальна, лягут в виде наклонной прямой на графике отношений логарифмов, где по вертикальной оси – логарифм длины мерки, а по горизонтальной – логарифм числа мерок.

N (L) - число квадратов со стороной L, необходимых для покрытия фрактальной структуры. График двойного логарифма от N (L) как функции от L имеет угловой коэффициент, равный D

Описанный метод называется методом подсчёта квадратов, или box-counting.

Другой метод измерения размерности фракталов, представляющих собой изломанную линию (это подходит для измерения береговой линии) – метод размерности линейки, или ruler dimension метод. Этот метод основан на вычислении отношений логарифмов общего числа линеек, которыми можно измерить объект (или общей длины объекта), от длины линейки, разумеется, чем линейка меньше, тем точнее она огибает извивы фрактальной линии, и тем больше получается общая длина объекта, тем больше линеек нужно для измерения объекта.

Третий метод, который можно привести в пример: mass radius метод. Здесь изображение

объекта покрывается серией кругов всё большего диаметра и подсчитывается отношение логарифмов диаметра круга к площади структуры, которую он покрывает. На приведённых трёх примерах видно, что принцип подсчёта всегда один и тот же: вычисление отношения логарифма размера мерки (иначе – пробирующей функции) к общему числу мерок.

Рис. 105. box-counting метод подсчёта фрактальной размерности береговой линии.

Разумеется, если мы будем измерять не фрактальный объект таким способом, мы тоже можем получить какую-то дробную размерность, но отношение логарифмов не даст наклонную прямую, на рисунке 106 приведён пример вычисления фрактальных размерностей береговых линий нескольких стран и размерность окружности, вычисленная тем же методом. Тот факт, что фрактальная размерность – топологический инвариант фрактала (неизменное числовое выражение его формы), говорит о том, что размерность фрактального объекта, измеренная при различных масштабах, должна быть одинаковой, об этом и свидетельствует прямая, получаемая на графике логарифмов, у не фрактальных объектов этот инвариант отсутствует.

103

опубликовал книгу «Форма, случай и размерность», а затем – книгу, ставшую манифестом исследователей фрактальной геометрии: «Фрактальная геометрия природы» (1983). Название говорит само за себя. «Ученые (я уверен) будут удивлены и восхищены, обнаружив, что немало форм, которые они были вынуждены называть зернистыми, подобными гидре, бородавчатыми, изъязвленными, ветвистыми, похожими на морские водоросли, странными, запутанными, извилистыми, волнистыми, клочковатыми, морщинистыми и тому подобными, отныне могут описываться строгим и точным количественным образом», писал он в своей книге.

И действительно, фрактальными оказались, помимо береговой линии, многие другие природные структуры и процессы: реки с их притоками, молнии, раскаты грома, поверхность гор, облаков, распределение галактик, солнечная активность и так далее (рис. 107).

Рис. 107. Примеры природных фракталов (слева направо): речной бассейн, вид из космоса; молния; фрактальное, самоподобное расщепление капли молока, упавшей в воду.

Но надо отметить, что с математической точки зрения природные объекты являются не фрактальными, а фракталоподобными. У них нет бесконечного самоподобия, они так же отличаются от идеальных математических фрактальных форм, как и не содержат идеальных форм эвклидовой геометрии. Поэтому природные фрактальные формы корректнее называть квазифракталами. Фрактальность природных объектов доказывается возможностью построения

правдоподобных компьютерных ландшафтов виртуального мира по простым фрактальным программам, в которых подобие реальности достигается рандомизацией, случайным изменением, в определённых пределах, переменных в функции, по которой строится фрактальная структура (рис. 108). Фрактальные объекты активно используются, к примеру, в компьютерных играх: растения и водная рябь, горы и каменистая поверхность безжизненных планет, облака и многие

другие природные формы можно генерировать в реальном времени по достаточно простым формулам и без значительных вычислительных затрат, используя фрактальные алгоритмы. Такие ландшафты и объекты требуют гораздо меньше памяти, чем растровые изображения, программа

размером меньше мегабайта может генерировать практически бесконечное разнообразие фрактальных форм, для записи которых требуется одна строка информации – формула, по которой строится фрактал и значения начальных переменных. Кроме того, растровое изображение невозможно увеличить больше его реального разрешения, при большем приближении мы увидим пикселизацию, фракталы же – векторные изображения, их можно приближать настолько, насколько хватит вычислительных способностей компьютера, потенциально бесконечно (но реально движение вглубь фрактала, приближение и прорисовка какой-либо его части, есть просчёт формулы с определёнными переменными, соответствующими этой части фрактального множества, взятыми с всё большей точностью, разные программы имеют различную глубину просчёта, как правило, до 15-го знака после запятой).

105

Фрактальные алгоритмы позволяют создавать сложные, фантастически красивые, бесконечно трансформирующиеся структуры, благодаря чему фракталы активно используются во всех сферах дизайна, создания виртуальной реальности, индустрии развлечений (рис. 109), в современных изобразительных искусствах. Познакомившись с фрактальными паттернами поближе, вы научитесь распознавать их вокруг себя как в реальном мире, так и в виртуальном.

Рис. 108. Фрактальный горный ландшафт.

Рис. 109. Фрактальная Матрица в 3-й части фильма братьев Вашовских (Andy Wachowski,

Larry Wachowski) «Матрица» («The Matrix») (слева) и соответствующий ей фрактал множества Жюлиа.

Однако фракталы могут быть хаотичными на взгляд: хлопьевидные, зернистые, волокнистые и так далее. На рисунке 110 вы видите примеры таких визуально хаотичных фрактальных форм, созданных Мандельбротом. Слева ряд фракталов, построенных на основе одной и той же формулы, но с использованием различных значений переменной. Центральная фигура выглядит как симметричный идеальный геометрический объект, очертания следующего фрактала (внутренняя граница белого и чёрного пространства) гораздо более сглажены, хотя в них ещё видна математически точная периодичность, при ещё более сглаженных очертаниях (внутренний и внешний край наружного светлого кольца) фрактал начинает восприниматься как паттерн с рваным или нарисованным от руки краем. Справа визуально хаотичный фрактальный паттерн, напоминающий некий природный кластер. Это всё фрактальные паттерны, построенные по абсолютно строгим и несложным математическим алгоритмам, они лишь выглядят неправильными, рваными, хаотичными. Но если полностью детерминированные математическими правилами формы могут казаться такими неправильными, быть может,

106

некоторые из природных форм тоже лишь кажутся хаотичными? Если простые математические правила порождают столь сложное формообразование – не означает ли это, что и в основе сложных природных структур и процессов могут лежать простые правила?

Рис. 110. Визуально хаотичные фракталы.

Фракталы могут быть отнесены к трём типам.

Линейные геометрические фракталы. Самые простые представители мира фрактальных форм, абсолютно детерминированные фракталы, в общем уже описанные на примере фракталов Коха, Кантора, Серпинского, Гилберта. Представляют собой геометрическую форму, каждый

элемент которой последовательно и потенциально бесконечно трансформируется на основе одного и того же алгоритма. Реально компьютер при прорисовке производит лишь несколько итераций, соответствующих прорисовке нескольких уровней самоподобия. Такие фракталы моделируются с помощью программ «черепашьей» графики, или L – систем (Lindenmayer Systems). Математический формализм L – систем был предложен биологом Аристидом Линденмайером (Aristid Lindenmayer) в 1968 году. Эти системы рассматривались, как математическая модель развития, поныне используются для создания фракталов и реалистических моделей растений (рисунок 111 - примеры ветвящихся растениеподобных фракталов, созданных программой моделирования систем Линденмайера).

Рис. 111. Растениеподобные ветвящиеся фракталы, созданные с помощью L-графики.

Алгоритм генерации L – систем очень прост. Задаётся начальная аксиома – правило прорисовки начального паттерна. Аксиома включает следующие символы: «F» – прямой отрезок, «f» – отсутствующий отрезок, пустой промежуток между отрезками, «+» поворот следующего отрезка по часовой стрелке на заданный градус (задаётся в настройках программы), «-» поворот

107

следующего отрезка против часовой стрелки на заданный градус. Кроме этого, задаётся новое значение «F» - на каждом следующем шаге построения фрактала каждый его прямой отрезок («F») преобразуется в фигуру, описанную «новым F». Дополнительные возможности могут включать изменение толщины ветвей различного порядка, эффект трёхмерности, или иные элементы оформления, например, развешивание по паттерну листочков, чтоб сымитировать настоящее растение. На рисунке 112 показан пример моделирования люпина с помощью специальной программы моделирования растений с использованием L-графики. Такие свойства, как цвет, текстура, ребристость поверхностей задаются с помощью специальных модулей. Пример окна такой программы моделирования растений показан на рисунке 113.

Рис. 112. Модель люпина созданная с Рис. 113 Пример окна программы моделирования растений с помощью специальной программы использованием L-графики.

моделирования растений с использованием L-графики.

Разберём, в качестве примера, алгоритм построения кривой Коха. Аксиома здесь: F (прямой отрезок). Новое F: [F-F++F-F]. Прежнее F (прямой горизонтальный отрезок) преобразуется согласно новому F в [«F» (крайний прямой отрезок слева), «-» поворот на 600 против часовой стрелки (угол задан изначально, его можно изменить в настройках), следующий отрезок «F», «++» 2 раза поворот на 600 по часовой стрелке (1200), прорисовка следующего отрезка «F», «-» снова поворот на 600 против часовой стрелки и прорисовка последнего отрезка «F» (крайний справа)], (рис. 114). На следующем шаге построения каждое «F» в получившейся структуре описанной формулой [F-F++F-F], заменится снова на выражение [F-F++F-F], то есть результирующая структура будет описываться формулой: [[F-F++F-F]- [F-F++F-F]++ [F-F++F-F]- [F-F++F-F]] (см. получившееся изображение на рис. 100, второй шаг построения кривой Коха).

второй степени: (z² + c)² + c, где переменная z и константа c – комплексные числа, состоящие из действительной и мнимой частей (мнимая часть содержит множитель i: квадратный корень из -1). Затем полученное значение последовательно подставляется в эту же формулу как z: [(z² + c)² + c]² + c, и т. д. Плоскость построения фрактала это координатная плоскость, с переменными

108

уравнения в качестве координат. Подставляя в формулу какое-либо начальное значение переменных (аргументов) и решая её, мы получаем конечный результат, который подставляется снова в ту же формулу в качестве аргументов. Если взять слишком маленькие начальные аргументы (меньше единицы) результат за небольшое число итераций уйдёт в область сверхмалых значений, стремящихся к нулю. Напротив, если взять слишком большие начальные аргументы, много больше единицы, результат за несколько итераций станет астрономически большим. Примем начальные аргументы, при которых результат просчёта функции уходит за определённое заданное нами число итераций за пределы какого-либо минимального значения, как аргументы, при которых функция стремится к нулю. Примем также начальные аргументы, при

которых результат просчёта функции уходит за определённое заданное нами число итераций за пределы какого-либо максимального значения, как аргументы, при которых функция стремится к бесконечности. Начальные аргументы отображаются координатами двумерного пространства. Те точки, которые соответствуют значениям аргументов, при которых функция уходит в бесконечность, отобразим белым цветом. Те точки, которые соответствуют значениям аргументов, при которых функция стремится к нулю, отобразим чёрным цветом. В результате получим график с бесконечно изрезанной границей между чёрной и белой областями; оказывается, граница между множеством значений аргументов, уводящих функцию в бесконечность, и множеством значений, уводящих её к нулю, бесконечно самоподобно «гуляет», флуктуирует, преломляется (рис. 115). И при увеличении какой-либо части этой границы мы будем открывать всё новые и новые самоподобные изгибы, паттерны, напоминающие форму целого (рис. 116).

Рис. 115. Множество Мандельброта (его называют также «чёрным карликом») в центре, вокруг примеры множеств Жюлиа, соответствующие различным точкам множества Мандельброта.

109