6.10.4. Технология решения систем нелинейных уравнений средствами математических пакетов

6.10.4.1. Технология решения систем нелинейных уравнений средствами MathCad

Для решения СЛУ необходимо задать начальные приближения для всех переменных, входящих в систему. В MathCAD решение системы уравнений требует использования вычислительного блока, начало которого отмечается ключевым словом Given. Для записи системы уравнений вместо ввода традиционного знака равно = вставляется жирный знак равенства – оператор отношения, расположенный на палитре «Логические». Если по условию задачи существуют ограничения на поиск решения, то они задаются в виде неравенств (например: a<x>b).

Решение СЛУ находится с помощью Find(x,y,z), где x, y, z – список переменных.

Пример 6.10.4-1. Решить систему нелинейных уравнений

при начальных условиях: x₀=1; y₀=1; z₀=1.

Матричный метод решения системы нелинейных уравнений: Решение системы нелинейных уравнений с использованием функции Find( )

MathCAD позволяет решать системы уравнений не только в скалярной, но и в матричной форме. При этом начальные значения и ограничения задаются в виде векторов. Ниже приведены примеры решения системы уравнений в матричной форме путем обращения матрицы коэффициентов и с использованием функции Find( ).

Пример 6.10.4-2. Решить систему нелинейных уравнений

Если система уравнений не имеет точного решения, то вместо функции Find( ) следует использовать функцию Minner, поскольку в этом случае функция Find( ) указывает на ошибку, функция Minner( ) находит минимум невязки, то есть возвращает значение аргумента, соответствующее минимальному расхождению между значением y и функцией y(x).

6.10.4.2. Технология решения систем нелинейных уравнений средствами MatLab

Для решения систем нелинейных уравнений в среде программирования MatLabиспользуется процедураfsolve( ). Процедураfsolve( )решает уравнения и системы уравнений.

Пример 6.10.4-3. Определить точки пересечения двух линий.

Задача сводится к решению системы уравнений:

Необходимо подготовить файл-функцию для этой системы уравнений. Преобразованная система уравнений для составления файл-функции будет такой:

.

После такой подготовки составляем в редакторе файл-функцию.

Пример 6.10.4-3

function f=myfyn2(x) f(1)=x(1)^2+x(2)^2-4^2; f(2)=3*x(1)+x(2)-1; %Вызов процедуры fsolve со следующими параметрами: >>x=fsolve(@myfyn2,[-1 4],optimset('Display','off')) x = -0.9610 3.8829 %Вторая точка пересечения: >>x=fsolve(@myfyn2,[1 -4],optimset('Display','off')) x = 1.5610 -3.6829 >>

Единственный недостаток процедуры fsolve( )видится в том, что невозможно получить все решения системы уравнений сразу. Вариант решения зависит от начальной точки итерационного процесса.

Пример 6.10.4-4. Решить при помощи процедуры fsolve( ) следующую задачу:

найти линию пересечения сферы и параболоида вращения .

При решении задач такого типа в большинстве случаев, трудоемкость и успех решения зависят от удачно выбранной параметризации.

Данная формулировка задачи позволяет работать непосредственно с координатами . Исключить координату и в цикле, при фиксированном x, искать значение y. Но при этом возникает двойственность решения и потребуются дополнительные усилия, чтобы корректно решить эту проблему. Произведем перепараметризацию этих поверхностей:

.

На первый взгляд, параметры и обозначают одно и то же – угол с осью абцисс в плоскости , но не надо забывать, что параметры и относятся к сферической системе координат, а параметры иt - к цилиндрической. Конечно, если бы мы решали аналитически, приравняв параметры и , нашли значение и сказали бы, что решением является окружность радиуса на высоте . Об этом можно рассуждать достаточно долго и не в рамках наших материалов. А нам необходимо составить файл-функцию решения этой задачи, для передачи ее в процедуруfsolve.

Пример 6.10.4-3

function f=myfyn3(p,t) f(1)=5*sin(p(1))*cos(p(2))-p(3)*cos(t); f(2)=5*sin(p(1))*sin(p(2))-p(3)*sin(t); f(3)=5*cos(p(1))-p(3)^2;

Теперь составим файл-функцию, в которой будет вызвана процедура fsolve( ), найдено решение и выведены все геометрические фигуры на один график.

Пример_6_10_4_3

function myfyn4() T=0:2*pi/100:2*pi; M=length(T); for i=1:M c=T(i); Vector=fsolve(@myfyn3,[1,1,1],optimset('Display','off'),c); U(i)=Vector(1); V(i)=Vector(2); R(i)=Vector(3); end; for i=1:M X(i)=5*sin(U(i))*cos(V(i)); Y(i)=5*sin(U(i))*sin(V(i)); Z(i)=5*cos(U(i)); end; u=0:pi/20:pi; m=length(u); v=0:2*pi/20:2*pi; n=length(v); for i=1:m for j=1:n Sx(i,j)=5*sin(u(i))*cos(v(j)); Sy(i,j)=5*sin(u(i))*sin(v(j)); Sz(i,j)=5*cos(u(i)); end; end; r=0:5/20:sqrt(10); t=0:2*pi/20:2*pi; mP=length(r); nP=length(t); for i=1:mP for j=1:nP Px(i,j)=r(i)*cos(t(j)); Py(i,j)=r(i)*sin(t(j)); Pz(i,j)=r(i)^2; end; end; mesh(Sx,Sy,Sz); hold on mesh(Px,Py,Pz); hold on plot3(X,Y,Z,'bo-');

После этого остается вызвать эту файл-функцию из командной строки или из другого скрипт-файла.

myfyn4

Таким образом, наша функция myfyn4( )построила сферу, параболоид и линию их пересечения. Следует отметить, что масштаб по координатным осям разный, поэтому сфера выглядит как эллипсоид. Все параметры графика регулируются либо программно, либо в интерактивном режиме в среде программированияMatLab. Можно отрегулировать выводимый диапазон значений, цвет, толщину линий и так далее.