6.8.6. Технология решения задач многомерной оптимизации средствами математических пакетов

6.8.6.1. Технология решения задач многомерной оптимизации средствами MathCad

Нахождение экстремумов функции нескольких переменных проводится аналогично функции одной переменной. Для этого используются функции Maximize(f, y, x) и Minimize(f, y, x), где f – имя функции, а y и x – имена переменных. При использовании функций Мinerr(x,y) или Find(x, y) находятся значения x и y, являющиеся решением системы уравнений, составленной из частных производных исходной функции по x и y. При этом следует помнить, что функция Find дает точное решение, а Мinerr - приближенное. Ниже приведены примеры поиска значения экстремума двумерной функции с использованием функции Minimize(f, y, x), график двумерной функции и график линий уровней.

Пример 6.8.6-1. Решить задачу оптимизации аналитическим методом для функции .

Пример 6.8.6-2. Решить задачу оптимизации для функции двух переменных градиентным методом.

Начальные значения переменных для поиска минимума Решение: xmin=0 ymin=0 f(xmin,ymin)=0

Пример 6.8.6-3. Решить задачу оптимизации с помощью встроенных функций miner( ) .

Построим трехмерный график функции f(x,y)

Построим график линий уровня функции f(x,y)

Пример 6.8.6-4. Решить задачу оптимизации с помощью встроенных функций

Maximize (Minimize).

Пример 6.8.6-5. Определить минимум функции .

Для заданной функции, как известно, координаты точки минимума равны (0;0). Для этой функции график линий уровня представляет собой концентрические окружности, а точка минимума находится строго по центру.

6.8.6.2. Технология решения задач многомерной оптимизации средствами MatLab

Вычисление безусловного экстремума многих переменных y=f(x₁,x₂,…,x_n) в MatLab осуществляется командой

[x, y]=fminsearch(name, x0 [, option]),

где name- имя функции, вычисляющей значениеy=f(x₁,x₂,…,x_n), зависящей от переменных;

X0- вектор изnэлементов, содержащий координаты точки начального приближения;

option- параметры, управляющие ходом решения;

x- вектор изnэлементов, содержащий координаты точки, в которой достигается минимум функции;

y- значение функции в точке с координатами .

Вычисление условного экстремума многих переменных y=f(x₁,x₂,…,x_n) существляется командой

[x, y]=fmincon(name, x0, A, b[, option]),

где A– матрица, аb– вектор для задания условий ограничения.

Остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущей функции

Пример 6.8.6-6. Найти и вывести координаты и значение минимума функции двух переменных f(x, y) = (x² + y² – 3)² + (x² + y² – 2x – 3)² + 1, если начальная точка поиска имеет координаты М₀(1,1).

Анализ функции показывает, что min f = 1, x = 0, .

Строим трехмерный график этой функции, чтобы убедиться в наличии минимума. Возьмем интервал х є [-1;1]; y є [1;3].

Пример 6.8.6-6

>> [X,Y] = meshgrid ( [-1 : 1, 1 : 3] ) ; >> Z=(X.^2+Y.^2-3).^2+(X.^2+Y.^2-2*X-3).^2+1; >> meshc(X,Y,Z); >> %После построения трехмерного графика выполняется поиск минимума. >> [xmin, minf] = fminsearch ( @ Z, [1; 1] ) xmin = - 0.0000 1.7320 minf = 1.0000 >>

Пример 6.8.6-7. Рассмотрим кубическую параболу y(x)=(x-2)(x-4)(x-6) . Найти минимальное значение функции на отрезке [4;6].

Определим параболу как m-файл cub246.m и вызовем процедуру fmincon( ) со следующими параметрами:

Пример 6.8.6-7

>>[x,fx]=fmincon(@cub246,4.1,[],[],[],[],4,6) x = 5.1547 fx =-3.0792 >>

Пример 6.8.6-8. Необходимо найти минимум функции если область определения есть прямоугольник([-4;4], [-4;4]).

Фактически, область определения можно записать в виде системы неравенств:

.

Пример 6.8.6-8

>> a=[-4;-4]; >> b=[4;4]; >> % вызвать процедуру fmincon со следующим синтаксисом: >> [x,fmin]=fmincon(@parab,[-2;-2],[],[],[],[],a,b) x = 1.0e-007 * -0.1215 -0.1215 fmin = 3.0000 >>

При таком вызове процедуры fmincon( ) мы нашли точку локального экстремума в области, заданной прямоугольником([-4;4], [-4;4]).

Пример 6.8.6-9. Найдем точку условного экстремума, если координаты x₁ и x₂, связаны отношением .

В процедуре fmincon( ) это понимается как произведение матриц .

Пример 6.8.6-9

>> [x,fx]=fmincon(@parab,[2;2],[],[],[1 1],[4],[-4;-4],[4;4]) x = 2.0000 2.0000 fx = 11

Пример 6.8.6-10. Решить похожую по смыслу задачу, но отличающуюся по способу решения. Рассмотрим эту же функцию .

Для нашей задачи более подходящим является следующий вид: . Данный параболоид пересекает плоскость. На линии пересечения плоскости и параболоида найти точку, наиболее близкую к плоскости.

Составим файл-функцию func1.m:

Пример 6.8.6-10

function f=func1(x) f=x(3); Написать файл-функцию условий uslfunc1.m, которые сформулированы выше: function [c,ceq,gc,gceq]=uslfunc1(x) c=[]; ceq=[3+x(1)^2+x(2)^2-x(3);x(1)+x(2)+x(3)-10]; if nargout>2 gc=[]; gceq=[2*x(1)+2*x(2)-1;3]; end;

Матрица C- вектор неравенствc(x)0. Неравенств у нас не имеется, поэтому матрицаСявляется пустой. Матрицасеq - вектор равенств, который, по сути, описывает наш параболоид и секущую плоскость. Уравнение секущей плоскости в матричном виде:

.

Итерационный процесс начнем с точки (2;2;2).

Пример 6.8.6-10

>>[x,fx]=fmincon(@func1,[2;2;2],[],[],[],[],[],[],... @uslfunc1,optimset('LargeScale','off','Display','off')) x = 1.4365 1.4365 7.1270 >>