6.9.6.2. Технология решения систем линейных уравнений в среде MatLab

Для работы с матрицами в Matlab применяются общепринятые для матричной алгебры символы: + (плюс) или – (минус) для сложения или вычитания матриц, * (звездочка) для умножения матриц. Для возведения матрицы в степень используется символ ^, для транспонирования матрицы – символ ' (кавычка).

Например, для получения обратной матрицы можно использовать запись

>> A1 = A^ −1

Это дает возможность получить решение СЛУ с помощью обратной матрицы. Для этого достаточно записать команду

>> X = (A^ −1)*B

Кроме того, в Matlab имеется функция INV(A) для обращения квадратной матрицы A. С помощью этой функции можно найти обратную матрицу, записав команду

>> A1 = INV(A)

или решить СЛАУ, записав команду

>> X = INV(A)*B

Однако решение СЛАУ с помощью обратной матрицы связано с большим объемом вычислений. Более рациональным является использование операций матричного деления:

/ (наклонная черта) для правого деления, \ (обратная наклонная черта) для левого деления.

>> A \ B

означает левое деление матрицы B на матрицу A. По смыслу это то же, что и INV(A)*B, однако расчеты выполняются по-другому. Запись X = A\ B означает решение методом исключения Гаусса.

Запись B / A означает правое деление матрицы B на матрицу A. По смыслу это то же, что и B* INV(A) , однако расчеты выполняются по-другому. Более точно,

>> % (левое деление). >> B/ A = (A'\B')'

Запись X = B / A дает решение уравнения XA = B методом исключения Гаусса.

>> % Решить систему Ax=b с помощью LU-разложения >> % Введём матрицу >> A = [3,4,-9,5;-15,-12,50,-16;-27,-36,73,8;9,12,-10,-16]; >> b = [-14; 44; 142; -76]; >> %Выполним LU-разложение >> [L,U, P] = lu(A); >> % L - нижнетреугольная, U - верхнетреугольная, >> % P - матрица перестановок. >> A = L * U >> % Матрицы L, U легко обратимы >> x = inv(U) * inv(L) * P * b; >> % Проверим решение >> A*x – b ans = 1.0e-013 * 0.0711 -0.6395 -0.8527 0.1421 >>

6.9.7. Тестовые задания по теме «Системы линейных уравнений»

1. Корнями системы линейных уравнений являются

1. совокупность значений неизвестных, при подстановке которых в уравнения системы, обращают их в тождества

2. приближенные значения неизвестных

3. решения линейных уравнений

4. в списке нет правильного решения

2. Метод, обладающий высшей скоростью сходимости при решении СЛУ, это

1. метод Хорд

2. метод Гаусса-Зейделя

3. метод простой итерации

4. метод прогонки

3. Две системы линейных уравнений являются эквивалентными, если

1. не имеют решения

2. имеют несколько решений

3. имеют одни и те же решения

4. имеют точное решение

4. Процесс получения последовательности приближений к корням системы линейных уравнений, при использовании численных методов называется

1. вариационным

2. интерполяционным

3. последовательным

4. итерационным

5. К численным методам решения системы линейных уравнений относится метод

1. Зейделя

2. Эйлера

3. Рунге-Кутта

4. прямоугольников

6. Процесс итераций при решении системы линейных уравнений сходится к единственному решению независимо от начального приближения, если

1. сумма модулей элементов матрицы коэффициентов меньше единицы

2. максимальная сумма модулей элементов строк или максимальная сумма модулей элементов столбцов меньше единицы

3. сумма модулей частных производных матрицы коэффициентов меньше единицы

4. в списке нет правильного ответа

7. Система линейных уравнений для решения ее итерационными методами должна быть приведена к виду

1. 

2. 

3. 

4. 

8. Метод, обладающий высшей скоростью сходимости при решении СЛУ, это

1. метод Зейделя

2. метод простой итерации

3. метод прогонки

4. метод хорд

9. Формула , где к=1,2,...,n является

1. приближением к решению СЛУ методом Гаусса-Зейделя

2. приближением к решению СЛУ методом итераций

3. методом простой итерации

4. в списке нет правильного ответа

10. Начальные приближения к корням при решении СЛУ методом итераций

1. выбираются на основании проверки условия сходимости

2. задаются равными нулю

3. выбираются произвольно

4. не задаются

11. Эффективность метода Зейделя в сравнении с методом простой итерации заключается

1. в одновременном замещении «старых» значений на «новые» во всех уравнениях

2. в уменьшении числа итераций

3. в списке нет правильного ответа

12. Метод Крамера относится к

1. точным методам

2. приближенным методам

3. итерационным методам

13. Вектор первых приближений при решении системы линейных уравнений

методом итераций, имеющей начальные условия , равен

1. 

2. 

3. 

14. Вектор первых приближений при решении системы линейных уравнений

методом Зейделя, имеющей начальные условия , равен

1. 

2. 

3. 

15. Необходимое и достаточное условие существования единственного решения системы

1. определитель системы равен нулю

2. определитель системы меньше нуля

3. определитель системы отличен от нуля

4. определитель системы равен бесконечности

16. Наибольшая точность решения достигается, если

1. ведущий элемент строки имеет наименьшее значение

2. ведущий элемент строки имеет наибольшее значение

3. ведущий элемент строки равен нулю

4. ведущий элемент строки равен единице

17. Система плохо обусловлена, если

1. определитель системы близок к нулю

2. определитель системы равен единице

3. определитель системы меньше нуля

4. пределитель системы стремится к бесконечности

18. Метод прогонки состоит из

1. 1 этапа

2. 2 этапов

3. 3 этапов

4. 4 этапов

19. Идея метода Гаусса заключается в

1. последовательном исключении неизвестных из уравнений системы

2. последовательном решении уравнений

3. нахождении определителя системы

4. построении графика функции

20. Метод Зейделя - это

1. аналог метода Рунге-Кутта

2. усовершенствованный метод Ньютона

3. усовершенствованный метод итераций

4. усовершенствованный метод наименьших квадратов

21. Для приведения матрицы к треугольному виду необходимо и достаточно, что бы

1. ведущие элементы были отрицательны

2. ведущие элементы были не равны нулю

3. ведущие элементы были положительны

4. ведущие элементы были равны нулю