4. Изучение сезонных колебаний.

Под сезонными колебаниями понимаются более или менее устойчивые внутригодовые колебания уровней развития социально-экономических явлений. Большое практическое значение статистического изучения сезонных колебаний состоит в том, что получаемые при анализе рядов внутригодовой динамики количественные характеристики изображают специфику развития изучаемых явлений по месяцам и кварталам годового цикла. На специфику изменения уровней рядов внутригодовой динамики могут оказывать влияние факторы, образующие их составные компоненты, такие, как тренд, периодические колебания, случайные отклонения.

Для измерения сезонных колебаний часто употребляемыми являются методы исчисления индексов сезонности либо моделирования колебаний гармониками ряда Фурье.

Расчет индексов сезонности. В зависимости от того, какие уровни, теоретические или средние, принимаются за базу сравнения, различают два способа измерения сезонных колебаний: способ переменной средней и способ постоянной средней. (Так как два последних месяца (январь и февраль 2000г.) не составляют полного внутригодового цикла, то их придется исключить из общих рядов при расчете индексов сезонности).

Способ постоянной средней основан на том, что за базу сравнения берется общий для анализируемого ряда средний показатель. Индивидуальный индекс сезонности для каждого периода годового цикла рассчитывается, как

где - средний индекс сезонности за месяцk (k=1..12),

- средний фактический уровень за месяц k (k=1..12),

- средний фактический уровень за весь анализируемый период.

Расчет индексов сезонности данным способом приведен в [Приложении 4.а]. В (Таблице 4.1) рассчитаны индексы сезонности для объема подрядных работ. Индексы сезонности для объема инвестиций рассчитаны в (Таблице 4.2).

В графе «сумма за период» рассчитаны суммы объемов работ/инвестицийза каждый месяц года. В строке «итого за все месяцы» посчитана суммаобъемов работ/инвестицийза все месяцы анализируемого периода. Далее в графе «среднее за период», за исключением строки «итого за все месяцы», содержатся средние значенияобъемов работ/инвестицийза каждый месяц внутригодового периода. В строке «итого за все месяцы» даны средние значенияобъемов работ/инвестицийза весь период(1996 – 1999 гг.). Индекс сезонности представляет собой отношение среднего значенияобъема работ/инвестиций за каждый месяц года к среднемуобъему работ/инвестицийза весь рассматриваемый период, выраженное в процентах. На (Рис .4.1) [Приложения 4.б]представлено графическое изображение индексов сезонности, рассчитанных по способу постоянной средней.

Способ переменной средней основан на использовании в качестве переменной базы сравнения при расчете индивидуального индекса сезонности теоретических уровней тренда, полученных методом скользящих средних, либо аналитическим выравниванием.

где - индекс сезонности заt месяц (t=1..48),

- фактический уровень за t месяц (t=1..48),

- теоретический уровень, полученный по уравнению тренда.

Поскольку на сезонные колебания могут накладываться случайные отклонения, для их элиминирования рассчитанные за весь период индивидуальные индексы сезонности одноименных внутригодовых периодов анализируемого ряда обобщаются в виде средних индексов сезонности. Поэтому для каждого периода годового цикла определяются обобщенные показатели:

где - средний индекс сезонности за месяцk (k=1..12),

- индекс сезонности за месяц k за весь рассматриваемом периоде (t=1..48),

n – количество одноименных месяцев k во всем рассматриваемом периоде.

В [Приложении 4.в], в (Таблице 4.3) и (Таблице 4.4) представлены результаты расчетов индивидуальных индексов сезонности для объема подрядных работ и объема инвестиций способом переменной средней за весь период. Значения получены по уравнениям тренда, вычисленным ранее:=15,186-0,026*t – для объема подрядных работ и =21,534+0,167*t – для объема инвестиций.

В (Таблице 4.5) и (Таблице 4.6) [Приложения 4.г] даны значения сумм индивидуальных индексов за каждый месяц. Индексы сезонности представляют собой их средние значения. Изображенный на (Рис 4.2) график показывает колебания индексов сезонности в течение года, рассчитанных способом переменной средней.

Можно также за базу сравнения взять теоретические уровни, полученные при сглаживании методом скользящей средней, рассчитать индивидуальные индексы сезонности, а затем для одноименных периодов годового цикла найти их средние значения. Однако из-за того, что при сглаживании методом скользящей средней отсутствует возможность экстраполяции временных рядов, было решено опустить данный способ расчета индексов сезонности.

Способ постоянной средней применяется для вычислений индексов сезонности в динамических рядах, в которых отсутствует понижающийся или повышающийся тренд, либо он незначителен. Когда же наличие основной тенденции развития ярко выражено, используют способ переменной средней. В нашем случае трудно сказать о том, насколько значительны тренды в каждом ряду, поэтому не станем пока отдавать предпочтение какому-либо из вышерассмотренных способу расчета индексов сезонности.

Моделирование сезонности гармониками ряда Фурье.

Во многих случаях моделирование сезонности в рядах динамики с помощью разобранных выше методов не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания на фоне общей тенденции. В таких случаях целесообразно использование гармонического анализа. Целью данного анализа являются выявление и измерение периодических колебаний в рядах динамики. Спектральный анализ позволяет выявить периодические составляющие исследуемого ряда с целью повышения точности прогнозирования.

Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить суммой бесконечного ряда синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом. Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга (сумма) отражало бы периодические колебания фактических уровней динамического ряда.

С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени:

.

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фурье и может принимать целые значения от 1 до 5 (определяется по формуле k = m/2-1, где m-величина периода одного цикла; в нашем примере равная числу месяцев в году m = 12).

Параметры уравнения рассчитываются в соответствии с методом наименьших квадратов. Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, из которой найдем параметры a_k и b_k:

;

;

.

Представляя месячные периоды как части окружности, ряд внутригодовой динамики можно записать в таком виде:

0	П/6	П/3	П/2	2п/3	5п/6	п	7п/6	4п/3	3п/2	5п/3	11п/6
Y0	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5	Y6	Y7	Y8	Y9	Y10	Y11

Для определенных в каждом конкретном случае t находят значения синусов и косинусов для различных гармоник k = {1, 2, 3, 4, 5}.

Первая гармоника ряда Фурье будет следующей:

Ряд Фурье с пятью гармониками будет иметь вид:

.

В [Приложении 4.д], (Таблице 4.7) даны промежуточные расчеты для нахождения параметров первой гармоники Фурье ряда объема подрядных работ. По имеющимся данным находим:

=726/50=14.52;

=2*(-35.459)/50=-1.418;

=2*(-27.026)/50=-1.081.

Модель сезонных колебаний, построенная по первой гармонике Фурье, имеет вид:

=14.52-1.418cost-1.081sint

В предпоследней графе (Таблицы 4.7) представлены рассчитанные по этой модели теоретические уровни ряда объема подрядных работ.

Отдельно были рассчитаны параметры для 2,3,4 и 5 гармоник Фурье. Также были рассчитаны среднеквадратические отклонения фактических уровней от теоретических (=(139,192/47)^0,5=1,721 млрд.руб., =1,841 млрд.руб.,= 5,089 млрд.руб.,=5,216 млрд.руб.,=5,369 млрд.руб.)

Наименьшую величину имеет среднеквадратическое отклонение первой гармоники. Поэтому делаем вывод о целесообразности использования для выравнивания уровней ряда объема подрядных работ первой гармоники Фурье.

На (Рис 4.3) [Приложения 4.е] изображены теоретический ряд и первая гармоника.

С помощью (Таблицы 4.8), [Приложения 4.ж] рассчитываем параметры второй гармоники Фурье ряда объема инвестиций:

=1289.6/50=25.793;

=2*68.33/50=2.733;

=2*(-149.499)/50=-5.98;

=2*47.585/50=1.903;

=2*(-98.874)/50=-3.955.

Модель сезонных колебаний, построенная по второй гармонике Фурье, имеет вид:

=25.793+2.733cost-5.98sint+1.903cos2t-3.955sin2t

Теоретические уровни ряда объема инвестиций приведены в предпоследней графе (Таблицы 4.8).

Отдельно были построены модели 1,3,4 и 5 гармоник Фурье. Их среднеквадратические отклонения следующие: =8,166 млрд.руб.,=(2626,703/45)^0,5=7,64 млрд.руб., =79,361 млрд.руб.,=81,303 млрд.руб.,=88,339 млрд.руб.

Так, как гармоника второго порядка имеет самое наименьшее среднеквадратическое отклонение, то для выравнивания ряда объема инвестиций воспользуемся именно ей.

Вторая гармоника и эмпирические уровни ряда объема инвестиций изображены на (Рис 4.4) [Приложения 4.з].