Пензин Андрей / LW2 / Lab№2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Институт информационных систем управления

Кафедра экономической кибернетики

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

по дисциплине

«Методы принятия решений»

на тему:

«Построение многомерной функции полезности»

ВЫПОЛНИЛ:

студент дневного отделения Института Информационных Систем Управления

группы ММиИОЭ 5-2

Пензин А. В.

ПРОВЕРИЛА:

преподаватель кафедры экономической кибернетики

Борисова В. В.

Москва - 2001

Этап 1. Задание на лабораторную работу.

Условие: необходимо поставить партию продукции, имеющей ограниченный срок хранения. Поставка может осуществляться различным видом транспорта, от чего будет зависеть время поставки и процент брака в результате транспортировки. Оба критерия могут быть рассмотрены как случайные величины. Для каждого из критериев необходимо достигнуть минимального значения для выбора оптимальной альтернативы.

Этап 2. Проверка допущений о независимости.

Выведем независимость одного фактора от другого. Самым слабым из упомянутых выше условий независимости является односторонняя независимость по полезности, самым сильным - аддитивная независимость. Поэтому анализ целесообразно начинать с выявления независимости одного из факторов (первый, в дальнейшем везде - Y) от Z.

В нашем примере имеем:

Y - % брака, Y имеет пределы (0, 100)

Z – срок поставки в днях, Z принадлежит интервалу (1, 30)

Для выявления независимости неоднократно проводится следующий эксперимент.

ЛПР предъявляется лотерея с равновероятными исходами <(Ymin, Z), (Ymax, Z)> и находится ее детерминированный эквивалент вида (Y, Z).

Лотерея вида <(0, Z), (100, Z)>

Лотерея вида <(Y, 1), (Y, 30)>

Рациональным приемом отыскания величины Y~ является метод "вилки". Протокол эксперимента ведется в следующей форме:

Испытание № 1				Испытание № 2
Значение постоянного фактора (Z1=2)				Значение постоянного фактора (Z2=5)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	90	предпочтительней лотерея		1	90	предпочтительней лотерея
2	10	детерминированный исход		2	10	детерминированный исход
3	80	предпочтительней лотерея		3	80	предпочтительней лотерея
4	20	детерминированный исход		4	20	детерминированный исход
5	70	предпочтительней лотерея		5	70	предпочтительней лотерея
6	30	детерминированный исход		6	30	детерминированный исход
7	60	предпочтительней лотерея		7	60	предпочтительней лотерея
8	40	детерминированный исход		8	40	детерминированный исход
9	50	детерминированный исход		9	50	детерминированный исход
10	55	все равно		10	55	все равно

Испытание № 3				Испытание № 5
Значение постоянного фактора (Z3=18)				Значение постоянного фактора (Z4=25)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	90	предпочтительней лотерея		1	90	предпочтительней лотерея
2	10	детерминированный исход		2	10	детерминированный исход
3	80	предпочтительней лотерея		3	80	предпочтительней лотерея
4	20	детерминированный исход		4	20	детерминированный исход
5	70	предпочтительней лотерея		5	70	предпочтительней лотерея
6	30	детерминированный исход		6	30	детерминированный исход
7	60	предпочтительней лотерея		7	60	предпочтительней лотерея
8	40	детерминированный исход		8	40	детерминированный исход
9	50	детерминированный исход		9	50	детерминированный исход
10	55	все равно		10	55	все равно

Испытание № 1				Испытание № 2
Значение постоянного фактора (Y1=20)				Значение постоянного фактора (Y2=45)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	25	предпочтительней лотерея		1	25	предпочтительней лотерея
2	5	детерминированный исход		2	5	детерминированный исход
3	20	предпочтительней лотерея		3	20	предпочтительней лотерея
4	10	детерминированный исход		4	10	детерминированный исход
5	18	предпочтительней лотерея		5	18	предпочтительней лотерея
6	15	все равно		6	15	все равно

Испытание № 3				Испытание № 4
Значение постоянного фактора (Y3=60)				Значение постоянного фактора (Y4=90)
Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи		Номер шага	Предложенный детерминированный исход	Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи
1	25	предпочтительней лотерея		1	25	предпочтительней лотерея
2	5	детерминированный исход		2	5	детерминированный исход
3	20	предпочтительней лотерея		3	20	предпочтительней лотерея
4	10	детерминированный исход		4	10	детерминированный исход
5	18	предпочтительней лотерея		5	18	предпочтительней лотерея
6	15	все равно		6	15	все равно

Если Y и Z взаимно независимы по полезности, и можно указать на две равноценные лотереи с равновероятными исходами вида:

- для первой лотереи: ( Y1 , Z1 ) и ( Y2 , Z2);

- для второй лотереи: ( Y1 , Z2 ) и ( Y2 , Z1 ),

причем исход ( Y1 , Z1 ) не равноценен ни одному из исходов второй лотереи, то Y и Z аддитивно независимы. Если же можно указать на две лотереи такого вида, которые неравноценны, то аддитивной независимости нет. Таким образом, исследователю достаточно строить одну пару лотерей этого вида, и ответ ЛПР на вопрос об их равноценности решает, имеет ли место аддитивная независимость.

Для нашего случая возьмем следующие лотереи:

1- лотерея (20,2) и (80,25)

2- лотерея (20,25) и (80,2)

Так как ЛПР все равно, какая из этих лотерей получится, то можно говорить о равноценности лотерей, то есть они имеют равновероятный исход, следовательно, имеем дело с аддитивной независимостью.

3 этап. Построение условных функций полезности.

Данный этап выполняется на ЭВМ с использованием программы EUF11R.COM

В нашем случае программа строит однофакторную функцию полезности для случая уменьшения полезности при увеличении значения аргумента, склонности или несклонности ЛПР к риску вида:

, где Х - значение аргумента Z или Y, c - постоянная отношения к риску.

Результаты работы программы представим далее:

Свойства функции полезности аргумента Z (% брака):

Пределы изменения атрибута:

Нижний предел = 0.

Верхний предел = 100.

Предпочтительное изменение атрибута: Убывание

Отношение к риску: Несклонность

Постоянная отношения к риску: 0.0040269196

1 |

|*

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

0 ------------------------------------------------------------

0 100

Свойства функции полезности Y (срок поставки в днях):

Пределы изменения атрибута:

Нижний предел = 1.

Верхний предел = 30.

Предпочтительное изменение атрибута: Убывание

Отношение к риску: Склонность

Постоянная отношения к риску: -0.0047600320

1 |

|*

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

| *

0 ------------------------------------------------------------

1 30

4 этап. Нахождение значений шкалирующих констант и построение двухфакторной функции полезности.

Наша функция имеет вид: U(Y,Z) = k_yu_y(Y) + k_zu_z(Z), при этом U(Y_max,Z_max)=0, U(Y_min,Z_min)=1, тогда U(Y_min, Z_max)> U(Y_max, Z_max) и U(Y_max, Z_min)> U(Y_max, Z_max),

k_y + k_z = 1, k_y = U(Y_min, Z_max), k_z = U(Y_max, Z_min)

Рассмотрим лотерею вида <(0, 30), (100, 1)>

Можно отметить, что в данном случае первый исход предпочтительней второго, следовательно, исходы не эквивалентны.

Таким образом, U(Y_min, Z_max) > U(Y_max, Z_min), т.е. k_y > k_z .

Поскольку U(Y_min, Z_max)<U(Y_min, Z_min), то можно найти Y^~ такое, что

U(Y_min, Z_max) = U(Y^~, Z_min). С учетом того, что ky + kz = 1 и U(Y,Z) = k_yU_y(Y) + k_zU_z(Z)

получим: k_YU(Y^~) = k_z или k_YU(Y^~) = 1 - k_Y, откуда .

Величина же U(Y^~) может быть вычислена непосредственно по найденной на предыдущем этапе формуле для условной функции полезности используя программу EUF11R.COM.

Определим, что Y^~=30, тогда U(Y^~) = 0.7410329783, k_Y=0,574371659, следовательно, k_z=0,425628341.

Тем самым шкалирующие константы определены.

Этап 5. Проверка согласованности построенной функции полезности с системой предпочтений ЛПР

Представим ЛПР следующие данные к рассмотрению. Результаты оценки ЛПР следующие:

	Y	Z		Y	Z		Y	Z		Y	Z
I	10	1	>	64	2	III	42	13	<	64	2
	30	3	>	58	3		42	13	<	58	3
	25	5	>	100	30		42	13	>	100	30
	15	10	>	33	18		42	13	<	10	1
	58	28	<	30	24		42	13	>	30	24
II	33	18	<	64	2	IV	10	5	>	64	2
	33	18	<	58	3		10	5	>	30	3
	33	18	>	100	30		10	5	>	25	5
	33	18	<	10	1		10	5	>	15	10
	33	18	>	30	24		10	5	>	58	28