Казачков Павел / Hw_2 / ht2 msep word main

2. Постоптимизационный анализ.

REM: Приложение 2.

1. Анализ изменения столбца правых частей ограничений.

Пусть b(w) = b + w * d, где w – число, d – заданный приростной вектор. При достаточно малых w базис останется допустимым и оптимальным, поэтому небазисные переменные отсанутся равными 0. Для базисных переменных можно записать:

х_В(w) =B^-1b(w) = B^-1b + w B^-1d = х_В + w, где  = B^-1d . Таким образом, можно записать:

.

Для двойственных оценок из формулы у^Т = с_В^ТВ^-1 можно сделать вывод о независимости двойственных оценок от b.

Для целевой функции оптимальное значение будет рассчитываться по следующей формуле:

L(w) = c_B^Tx_B(w) = L + wc_B^T = L + w y^Td.

Допустимые границы изменения w определяются условиями допустимости и оптимальности базиса (для максимума все x_j  0), поэтому получаем:

.

Для решения этой системы неравенств разобьем множество J_B на 3 непересекающихся подмножества:

Если jJ_B⁰, любое значение w не нарушит неотрицательности х_j(w). Для других случаев получаем:

Обозначим верхнюю границу и - нижнюю, тогда справедливы следующие утверждения:

.

Аналогично можно определить вернюю и нижнюю границы изменения b_r:

.

Согласно приведенным выкладкам найдем граничные значения w.

Для удобства переставим строки в матрице обращенного базиса согласно расположению базисных переменных в последней симплекс-таблице: d1, x5, x8.

Зададим приростной вектор d:

В этом случае вектор правых частей ограничений принимает вид:

, тогда вектор  будет следующим:

 = В^-1d = , несмотря на то, что последнее ограничение чисто балансовое, не следует исключать его из анализа, т.к. согласно проведенным выше расчетам изменение w приведет, в конечном счете, и к изменению значения базисной переменной, входящей в это балансовое уравнение.

Таким образом, можно записать для каждой переменной опорного плана следующие зависимости:

x1’(w) = d1 (w) = d1 + w ₁ = 45,45 –0,682 * w

x2’(w) = x5 (w) = x5 + w ₂ = 25,45 +0,318 * w

x3’(w) = x8 (w) = x8 + w ₃ = 1,818 +0,032 * w

х_j(w) = 0 , d2(w) = 0, j = 1,2,3,4,6,7,9,

тогда максимум целевой функции будет рассчитываться уже следующим образом:

L(w) = L + w y^Td = 1234,55 + 15.436 * w.

Значения двойственных переменных не зависят от изменения w.

Найдем границы изменения w. По приведенным выше рассуждениям получаем следующее:

J_B^- = {1}, J_B⁺ = {2,3}

Получили следующее решение w[-80;66.664], тогда компоненты данной системы имеют следующие границы для варьирования без изменения базисного решения:

d1[0;100]

x5[0;46.666]

x8[0;3.335]

L[0;2264]

2. Анализ влияния изменения коэффициентов целевой функции.

Данный анализ проводится аналогично рассмотренному выше. Берем с(w) = c + w * g, g – приростной вектор – столбец, причем g_B – часть вектора g, соответствующая базисным переменным.

При малых значениях w базис В останется допустимым и оптимальным.

Из предыдущих рассуждений следует, что изменение коэффициентов целевой функции повлияет на оптимальный план двойственной задачи:

y^T(w) = c_B^T(w)B^-1 = c_B^T B^-1 + w g_B^TB^-1 = y^T + w ^T, где ^T = g_B^TB^-1, или можно записать, что у_i(w) = y_i + w _i, i.

Оптимальное значение целевой функции будет рассчитываться по следующей формуле:

L(w) = c_B^T(w) х_B(w) = L + w g_B^Tx_B = L + w ^Tb.

Границы изменения w в данном случае определяются группой условий, накладывающих ограничения на оптимальность базиса, а именно: значение всех небазисных оценочных коэффициентов неотрицательно, т.е.

_j = c_B^TB^-1A_.j –c_j  0, j  J_N.

Тогда можно получить следующие условия

_j (w) = c_B^T(w)_j – c_j(w) = _j +w(g_B^T_j – g_j)  0, j  J_N, где _j – вектор – столбец коэффициентов разложения j – того столбца матрицы А по базису В, т.е. _j = B^-1A_.j, _j = (_1j , …, _mj).

Аналогично п.1. разобьем множество J_N на 3 непересекающихся подмножества:

Таким образом, если j  J_N⁰ , любое значение w не нарушит неотрицательности _j (w). Для других подмножеств получаем аналогично рассмотренному выше случаю:

. Из этих соотношений, соответственно, получаем формулы для расчета границ изменения w:

.

Соответственно, границы изменения коэффициентов целевой функции могут быть рассчитаны следующим способом:

. Как частные случаи могут быть рассмотрены ситуации, когда s  J_N (g_B = 0) и s  J_В (g_j = 0).

Найдем граничные значения для w и параметров и характеристик задачи.

Пусть у нас увеличится на 5 у.е. прибыль от использования 2^ой технологии и уменьшится на 4 у.е. прибыль от использования 8^ой технологии.

Приростной вектор в этом случае

g=

( 0

5

0

0

0

0

0

-4

0

0

0)

g_B = (0 0 -4)

 = (0 -0.03 0.136).

Оптимальный план прямой задачи не изменится, так как не зависит от изменения коэффициентов при целевой функции.

Зависимость максимума прибыли от w:

L(w) = L + w g_B^Tx_B = 1234,55 - 7.277 * w.

Зависимость двойственных переменных:

y1(w) = y1

y2(w) = y2 – 0.03*w

y3(w) = y3 + 0.136 * w

Определим границы изменения w.

Аналогично рассмотренному выше примеру получаем w[-; 0.787] и

y1 [-; 0]

y2 [-; 5.122]

y3 [-; -11.54]

L [1229; ]

3. Анализ влияния одновременного изменения столбца правых частей ограничений и целевой функции.

Имеем, что с(w) = c + w * g и b(w) = b + w * d. Понятно, что зависимости x(w) и y(w) будут использоваться исходя из предыдущих рассуждений.

Целевая функция изменится следующим образом:

L(w) = c_B^T(w)x_B(w) = (c_B^T + w*g_B^T)( x_B + w ) = L + w(y^Td + g_B^Tx_B) + w²^Td.

Очевидно, что условия, наложенные выше на допустимость и оптимальность плана, при совместном изменении w могут быть нарушены. В связи с этим следует найти пересечение множеств w, соответствующих условиям допустимости и оптимальности. Результатом будет искомый интервал изменения w и, соответственно, анализируемых параметров и характеристик задачи.

. В результате получаем следующий интервал:

w[-80;0.787]

d1		[ 44.917	;	100 ]
x5		[0	;	25.705]
x8		[0	;	1.837]
y1		[0	;	0]
y2		[5.122	;	7.571]
y3		[-22.556	;	-11.54]
L		[0	;	1241]

4. Анализ влияния одновременного изменения столбца правых частей ограничений и строки матрицы ограничений А.

Пусть b(w) = b + w * d и A_{r .} (w) = A_{r .} + w * l^T , ^Т = l_B^TB^-1.

Тогда оптимальный базис будет вычисляться по следующей формуле

Для оптимального плана двойственной задачи получим следующее представление:

Для оптимального значения целевой функции получаем следующую зависимость:

Для вычисления границ допустимых значений w найдем зависимость _j(w), jJ_N.

.

Допустимое множество значений w в общем случае есть объединение двух подмножеств, соответствующих положительному и отрицательному значению знаменателя (1+w_r):

1 подмножество : 1 + w_r > 0

Из условия неотрицательности х_В(w) получаем, учитывая положительность знаменателя, следующую систему:

Результатом будет конечное число интервалов.

Из условия допустимости приходим к следующему заключению: разобьем множество индексов небазисных переменных на 3 непересекающиеся подмножества:

Имеем:

Окончательное решение для 1-го подмножества будет пересечение получившихся интервалов w.

2 подмножество: 1 + w_r < 0

Это подмножество существует, если x_s = 0 и существует пересечение множеств w, которое, вообще говоря, может оказаться пустым вследствие рассмотрения данного случая. Согласно условию отимальности решения интервал изменения w может быть определен из следующих уравнений:

Найдем границы изменения w и посмотрим, как меняются параметры и характеристики модели в рассматриваемом случае.

Пусть увеличится использование ресурса 1 по 2 и 5 технологическим способам соответственно на 2 и 1 единицу, а доступные объемы ресурсов 1 и 2 изменятся, соответственно, 5 и –3. Тогда в формализованом виде данные условия получат следующую интерпретацию:

d = (5 –3 0)^T ,

l = (0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0)^T, l_B = (0 1 0)^T ,

По первой группе ограничений на допустимость решения получили w₁[-1.833;80].

По второй группе ограничений получаем интервал для w₂ со следующими граничными значениями w₂[-0.318; 4.004] (с учетом того, что ). В результате получаем следующие границы изменения w:

w[-0.318; 4.004]

Второе подмножество будет пустым, т.к. не входит в полученный выше интервал. Таким образом, определим границы изменения оптимального плана, двойственных оценок и целевой функции.

d1		[38.614	;	110.306]
x5		[16.973	;	26. 448]
x8		[1.213	;	1.89]
y1		[0	;	0]
y2		[3.612	;	5.325]
y3		[-11.976	;	-11.609]
L		[823.421	;	1283]

13