Симонова Наталия / Dz31

По данным условиям составим прямую задачу производственного планирования:

Двойственная задача будет иметь следующий вид:

Прямую задачу будем решать с помощью пакета решения задач линейного программирования BLP. Результаты решения следующие (См. Приложение № 1): получили оптимальное и единственное решение - X_опт=(0, 0 ,88 ,0 )

На основе результатов решения системы воспроизведем первую и последнюю симплекс-таблицу (См. Приложение № 2)

Т еперь найдем обращенный базис B^-1

1.Анализ влияния изменения вектора правых частей ограничений (b)

Допустим, что машиностроительное предприятие увеличивает к лимиту рабочего времени фрезерного оборудования и величину прибыли в соотношении 3:1000. Пусть b(w)=b+w*d, где

w- масштаб изменений,

d - заданный приростной вектор – структура изменений.

Cформируем приростной вектор d, имеющий следующий вид:

Следовательно, вектор правых частей ограничений приобретет вид:

Найдем вектор  равный :

Определим зависимость компонент оптимального плана от w, используя следующую формулу для базисных и небазисных переменных:

Таким образом, получаем:

Двойственные переменные не зависят от вектора b, т.к. y_i=c^T_B(B^-1), поэтому теперь найдем зависимость оптимального значения (минимума) целевой функции от w:

L (w) =c^T_BX_B(w)=L + w* c^T_B* = L+ w y^T d = 62920+1144w

Допустимые границы изменения w определяются условиями допустимости и оптимальности базиса. Определим границы изменения w, в которых истинны выше найденные зависимости. По следующей формуле определим подмножества базисных индексов:

Получили:

Найдем границы по следующим формулам:

(1.1)

В результате получаем, что

Проанализируем влияние масштаба изменений на оптимальный план и на минимум целевой функции:

2. Анализ влияния изменения целевой функции

Предположим, что цена на сборочно-наладочные работы увеличилась на w руб, значит, должны увеличиться и удельные затраты – увеличится общие затраты (целевая функция). Необходимо проследить влияние изменения цены на сборочно-наладочные работы.

Пусть c (w) = c + wg , где g – приростной вектор-столбец. Приростной вектор в данном случае будет иметь вид:

g = (8, 5, 10, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)^T,

причем

g^Т_В = (s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7,x3) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10), где

g^Т_В – часть вектора g , соответствующая базисным переменным

С учетом изменения цены сборочно-наладочных работ целевая функция принимает следующий вид:

L=(510+8w) x₁ + (700+5w) x₂ + (715+10w) x₃ + (684+4w) x₄

Вычислим вектор  :

 ^Т = g^Т_В B^-1

Необходимо найти зависимость компонент оптимального плана от изменения цены на сборочно-наладочные работы. Для оптимального плана прямой задачи справедлива формула:

следоватеzльно, оптимальный план прямой задачи не изменится при изменении целевой функции, значит не изменится и выпуск изделий.

Воспользуемся формулой для оптимального значения (минимума) целевой функции:

и найдем зависимость максимума прибыли от w:

L(w) = 62920+880w

По следующей формуле найдем зависимость двойственных переменных от масштаба изменений:

y1=y2=y3=y4=y5=y6=y7=0

y8=1,144+0,016w

Теперь определим границы w, в которых справедливы полученные зависимости. Границы изменения w определяются в этом случае условием,.оптимальности плана (базиса). Вычислим:

Получаем условие:

Разобъем множество J_N на три непересекающихся подмножества по формуле:

значение выражений для этой формулы сведем в таблицу:

X	j
X1	1	6.08-8=-2.08
X2	2	6.72-5=1.72
X4	4	6.5-4=2.5
S8	12	0.016

И получим, что:

По формулам

(1.2)

Для данных условий получаем следующие границы:

Итак : w  [-71,5 ;36,2]

Проанализируем влияние границ масштаба изменения на оптимальный план двойственной задачи и минимум целевой функции:

3.Анализ влияния одновременного изменения столбца правых частей

ограничений и целевой функции

Пусть c (w) = c + wg и b (w) = b + wd

Зависимость x (w) определяется по формуле:

Зависимость y (w) определяется по формуле:

Найдем зависимость L(w) оптимального значения целевой функции:

Так как:

g^Т_В = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,10)

^Т = g^Т_В B^-1 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.016)

d^T = (3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1000)

y^T = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.144)

следовательно, получим следующую зависимость L (w):

L (w) = 62920+ 2024w +16w²

Ввиду того, что в данном случае при изменении w могут быть нарушены и допустимость, и оптимальность плана, поэтому при определении границ w надо учитывать оба условия:

Д ля соблюдения данных условий необходимо, чтобы выполнялись сразу два условия оптимальности и допустимости, т.е. надо найти пересечение множеств, которые представлены формулами (1.1. и 1.2.). Для этого обозначим:

границы w для формулы (1.1.), и

границы w для формулы (1.2.).

Тогда:

Для данного случая получаем,что:

4. Анализ влияния одновременного изменения столбца правых частей

ограничений и строки матрицы ограничений

Пусть A_r(w) = A_r + w l^T и b(w)=b+w*d,

где l^T – приростной вектор-столбец.

l^T=(5,0,10,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

A_r(w)=(52,10,62,0)+w(5,0,10,0)

^T = l_B^T B^-1 , где l_B = (l₁ ,…., l_m)^T – часть вектора l, соответствующая базисным переменным

l_B^T = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,10)

^T = l_B^T B^-1 = ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.016)

d^T = (3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1000)

y^T = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1.144)

После определенных вычислений получаем следующие формулы:

1. для оптимального плана прямой задачи, т.к.

и

то получаем

2. для оптимального плана двойственной задачи получаем:

3. для оптимального значения целевой функции после вычислений получаем:

L=62920-1007*w/(1+0.016w)-18,304*w²/(1+0.016w)+1144w=62920+137w/(1+0.016w)

_r = 0,016 , значит, w > - 6,25 y_r = 1,144

Найдем множество допустимых значений w.

Разобьем множество базисных индексов на 3 непересекающихся подмножества:

	j
s1	1	-12912
s2	2	-624
s3	3	-4280
s4	4	-5896
s5	5	-4176
s6	6	-3096
x3	7	0
x1	8	-124
x4	9	-48

Найдем границы w:

Разобьем множество базисных индексов на 3 непересекающихся подмножества:

	j
x2	1	168
s7	2	0
s8	3	-152
s9	4	-162

Найдем границы w:

В итоге получаем: