ЭВМиПУ (ОргЭВМ) / Лабораторные работы / программа / Lab1_help

Пример расчета основных параметров

р



еализации алгоритмов на ЭВМ

Рассчитаем основные параметры реализации на ЭВМ алгоритма двумя методами: сетевым и марковским. Граф-схема исходного алгоритма представлена на рис. 1.6, где V₀ и V_k обозначают соответственно начальную и конечную вершины графа, V_i - вершины, соответствующие операторам счета, а V^j_i - вершины, соответствующие операторам обращения к файлам ().

П усть операторы счета V_i, число которых равно m₀=8 (), характеризуются следующими показателями количества операций ^V_i:

Vi	1	2	3	4	5	6	7	8
Vi, опер	10	100	50	30	60	40	200	35

Операторы обращения к файлам V^j_i (где j - номер файла, к которому осуществляется обращение) задаются средним количеством информации l_i, передаваемой при выполнении данного оператора:

Vji	1	2	3	4	5	6	7	8
li, байт	900	500	800	1000	100	700	400	300

Число операторов ввода-вывода при обращении к каждому из трех файлов (F=3) для данного алгоритма равно: m₁=3 (вершины V¹_1, V¹_2, V¹_7); m₂=3 (вершины V²_3, V²_6, V²_8); m₃=2 (вершины V³_4, V³_5).

Области изменения параметров ветвления алгоритма X_i примем следующие:

X₁=(-2;2); X₂=(-3;4); X₃=(1;6);

а области изменения параметров циклов (максимальное значение счетчиков I_i) K_i примем равными

К₁=25, К₂=50, К₃=15.

При этом счетчики циклов I_i в начале реализации алгоритма устанавливаются в единицу, т.е. I₁= I₂= I₃=1.

Марковский метод

Чтобы уменьшить размерность системы линейных уравнений для определения вероятности выполнения операторов, осуществим объединение последовательных операторов алгоритма. В результате такого преобразования образуется укрупненная граф-схема алгоритма. В один общий оператор могут входить только те вершины ГСА, которые при любых условиях выполнения алгоритма реализуются последовательно. На рис. 1.7 представлена укрупненная ГСА исходного алгоритма, на которой через А_i обозначены операторные вершины.

В операторные вершины укрупненной ГСА вошли следующие вершины, соответствующие операторам счета и операторам обращения к файлам исходного алгоритма:

А₀=(V₀) A₁=(V_1) A₂=(V¹_1)

A₃=(V_2, V¹_2) A₄=(V_3, V²_3) A₅=(V_4)

A₆=(V_5, V³_4) A₇=(V_6, V³_5) A₈=(V_7, V²_6)

A₉=(V¹_7) A₁₀=(V_8, V²_8)

По параметрам I_i и X_i определим вероятности переходов из одного оператора в другой.

Параметр Х₁ изменяется в пределах от -2 до +2. Переход из вершины А₂ в А₃ произойдет при значениях Х₁ больших нуля (с вероятностью 2/5=0,4), а в вершину А₄ - при значениях Х₁ меньших или равных нулю (с вероятностью 3/5=0,6). Аналогично определяются вероятности перехода из вершины А₆ в А₅ (p₆₅=0,83) и А₁₀ (p_6 10=0,17).

И з вершины А₄ осуществляется переход сразу в три вершины А₆, А₇ и А₈. Согласно параметру Х₃=(1;6), вероятность перехода из А₄ в А₆ равна 0,5. Следовательно с вероятностью 0,5 осуществится переход либо в вершину А₇, либо А₈. Исходя из заданного условия I₁<K₁ и параметра K₁=25, цикл должен выполнятся 24 раза. Следовательно, в 24/25 (0,96) случаях осуществиться переход в вершину А₈, а в 1/25 (0,04) случаях - в вершину А₇. Таким образом, p₄₇=0,50,04=0,02 и p₄₈=0,50,96=0,48.

Остальные полученные вероятности переходов следующие: p_8 10=0,02, p₈₉=0,98, p_10 1=0,93, p_10 k=0,07.

Используя рассчитанные вероятности переходов, составим таблицу вероятности переходов.

Таблица 1.4

Таблица вероятностей переходов

	А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9	А10	Ак
А1	-----	1	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----
А2	-----	-----	0,4	0,6	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----
А3	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	1	-----
А4	-----	-----	-----	-----	-----	0,5	0,02	0,48	-----	-----	-----
А5	-----	-----	-----	1	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----
А6	-----	-----	-----	-----	0,83	-----	-----	-----	-----	0,17	-----
А7	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	1	-----
А8	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	0,98	0,02	-----
А9	-----	1	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----
А10	0,93	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	-----	0,07

Для определения трудоемкости алгоритма и средней трудоемкости этапа счета рассчитаем среднее число пребывания марковского процесса в невозвратных состояниях, решая систему линейных уравнений. Система уравнений строится по столбцам таблицы вероятности переходов.

0,93n₁₀ - n₁= -1 n₁=14,3

n₁ + n₉ - n₂=0 n₂=27,64

0,4n₂ - n₃=0 n₃=11,056

0,6n₂ + n₅ - n₄=0 n₄=28,35

0



,83n₆ - n₅=0 n₅=11,765

0,5n₄ - n₆=0 n₆=14,175

0,02n₄ - n₇=0 n₇=0,567

0,48n₄ - n₈=0 n₈=13,608

0,98n₈ - n₉=0 n₉=13,336

n₃ + 0,17n₆ + n₇ + 0,02n₈ - n₁₀=0 n₁₀=14,304

Среднее число процессорных операций при одном прогоне алгоритма равно , где S₀ – множество вершин V_i.

Аi	Vi	Vi, опер	ni	Vi*ni, опер
1	1	10	14,3	143
3	2	100	11,056	1105,6
4	3	50	28,35	1417,5
5	4	30	11,765	352,95
6	5	60	14,175	850,5
7	6	40	0,567	22,68
8	7	200	13,608	2721,6
10	8	35	14,304	500,64

=7114,47 операций

Среднее число обращений к файлам равно:

G₁=n₂+n₃+n₉=52,032;

G₂=n₄+n₈+n₁₀=56,262;

G₃=n₆+n₇=14,742.

Среднее количество информации, передаваемое при одном обращении к файлам, рассчитывается так:

L₁=(n₂l₁+n₃l₂+n₉l₇)/G₁=686,854 байт;

L₂=(n₄l₃+n₈l₆+n₁₀l₈)/G₂=648,694 байт;

L₃=(n₆l₄+n₇l₅)/G₃=965,385 байт.

Средняя трудоемкость этапа счета _ определяется следующим образом:

N=n₁+ n₃+ n₄+ n₅+ n₆+ n₇+ n₈+ n₁₀=108,125;

_=/N=7114,47/108,125=65,7986 операций.

Сетевой метод

Чтобы рассчитать сетевым методом основные параметры алгоритма, необходимо на укрупненной ГСА выделить циклы. Для исходного алгоритма, взятого в примере, выделяются три цикла (рис. 1.8).

С начала рассчитывают вложенные циклы, поэтому рассмотрим первый цикл - цикл С1 (см. рис. 1.9).

Определим вероятность выхода из цикла Р_вых и вероятность зацикливания Р_ц. Вероятность выхода из цикла будет равна сумме всех выходов (т.к. выход не единственный).

Р_вых=0,48+0,02+0,50,17=0,585  Р_ц=1 - Р_вых=0,415.

Таким образом, среднее число повторений цикла С1 равняется

n_C1=1/P_вых=1,71.

Найдем трудоемкость тела цикла: ^t_C1=n_i^V_i, где значение ^V_i - это трудоемкость вершины V_i, соответствующей оператору счета, входящей в i-ю операторную вершину укрупненной ГСА.

n₄=1 ^V₄=50

n₆=0,5 ^V₆=60 => ^t_C1=50+30+12,45=92,45 операций

n₅=0,83* n₆=0,415 ^V₅=30

Таким образом средняя трудоемкость цикла С1 равна

_C1= ^t_C1n_C1=158,09 операций.

Д ля определения минимальной и максимальной трудоемкости цикла С1 необходимо определить минимальный и максимальный пути прохождения по циклу.

Максимальная max_С1 и минимальная min_С1 трудоемкость цикла определяется как сумма трудоемкостей всех вершин, составляющих соответственно максимальный и минимальный пути цикла, умноженной на среднее число повторений цикла n_C1

min_С1=501,71=85,5 операций;

max_С1=(50+60+30+50+60) 1,71=427,5 операций.

Цикл С2. После расчета вложенных циклов они представляются на графе других циклов в виде вершины, в данном случае цикл С1 представляется вершиной С1 (рис. 1.10).

В цикле С2 кроме вероятности выхода из цикла необходимо определить вероятности выхода из цикла С1. Так как сумма вероятностей выходов из С1 равна 1, то, например, р_C1 8=0,48/(0,17+0,02+0,48)=0,72. Аналогично определяются и остальные вероятности.

Р_вых=0,4+0,6(0,25+0,03)+0,60,720,02=0,577;

Р_ц=0,423;

Среднее число повторений цикла С2 равняется

n_C2=1/P_вых=1,73.

Трудоемкость тела цикла определяется как

n₂=1 ^V₂=0

n_C1=0,6 ^V_C1=158,09 => ^t_C2=181,254 операций,

n₈=0,72 n_C1=0,432 ^V₈=200

n₉=0,98 n₈=0,423 ^V₉=0

а средняя трудоемкость цикла С2 равна

 _C2= ^t_C2 n_C2=313,57 операций.

Минимальный путь для цикла С2 будет состоять из одной вершины.

Так как в вершине А2 отсутствует оператор счета, то минимальная трудоемкость цикла С2 равно нулю min_С2=0 операций.

Максимальный путь равен полному прохождению цикла, и максимальная трудоемкость цикла С2 равна

max_С2=(0+427,5+200+0+0+427,5+200) 1,73=2171,15 операций.

Цикл С3. Для цикла С3 (рис. 1.11), как и для цикла С2, нужно рассчитать вероятности выхода из цикла С2. Рассуждения аналогичные, но вероятности берутся те, которые уже рассчитывали для С2.

Например: р_C2 10=(0,02+0,25)/(0,4+0,03+0,25+0,02)=0,39

Р_вых=0,07;

Р_ц=0,93;

n_C3=14,29.

Трудоемкость тела цикла равна

n₁=1 ^V₁=10

n_C2=1 ^V_C2=313,57

n₃=0,57 n_C2=0,57 ^V₃=100 => ^t_C3=417,17 операций;

n₇=0,04 n_C2=0,04 ^V₇=40

n₁₀= n₃+n₇+0,39 n_C2=1 ^V₁₀=35

а средняя трудоемкость цикла С3 и всего алгоритма определяется как

_C3= _ср= ^t_C3 n_C3= 5961,36 операций.

Для цикла С3 характерно ветвление алгоритма - в вершину А₁₀ идут три дуги. Чтобы рассчитать минимальную и максимальную трудоемкости этого цикла, необходимо вычислить минимальные и максимальные пути соответственно.

Расчет минимальной трудоемкости.

min₀=0

min₁=10

min_С2=0+10=10

min₃=100+10=110

min₇=40+10=50

min₁₀=35+min(min₃,min_C2,min₇)=45

min_k=_min=4514,29=643,05 операций.

Расчет максимальной трудоемкости.

max₀=0

max₁=10

max_С2=2171,15+10=2181,15

max₃=100+2181,15=2281,15

max₇=40+2181,15=2221,15

max₁₀=35+max(max₃,max_C2,max₇)=35+2281,15=2316,15

max_к=_max=2316,1514,29=33097,78 операций.

Таким образом, полученные значения трудоемкостей для цикла С3 и определяют минимальную, среднюю и максимальную трудоемкости всего алгоритма, рассчитанные сетевым методом:

_min=643,05 операций;

_ср=5961,36 операций;

_max=33097,78 операций.