Лекция №8.

Преобразование Фурье в когерентной оптической системе.

Оптическая система осуществляет преобразование Фурье двумерных сигналов, заданных в плоскости Р1. Точечный источник монохромотического цвета S преобразуется лупой Л1 в параллельный пучок, который освещает фотопластину, луча интегрирующуюся амплитудным пропусканием f(x). Лупа Л2 устанавливается на расстоянии равном фокусному, как от входной пластины Р1, так и от плоскости пространственных частот Р2. Амплитуда света в плоскости Р2 равна Фурье-образу функции F(ω).

Согласно определению прямое преобразование Фурье осуществляется с помощью ядра exp(-jωx), а обратное – с помощью ядра exp(jωx). Тогда, переход от плоскости х к плоскости ω осуществляется через соотношение:

Примером сигналов, регистрирующих и анализирующих методом преобразования Фурье служат сейсмограммы колебаний почвы. Одной из задач фильтрации является подавление постоянно смещения. Для этого в центре плоскости пространства – х частот Р2 устанавливается непрозрачная маска. Частичная фильтрация постоянного смещения приводит к увеличению контраста в отфильтрованном изображении узкая щель в плоскости Р1 на вполне определенном пространственной частоте выделения периода сигнала данной частоты на фоне посторонних гармоник. Непрозрачная маска в этом месте удаляет соответственно гармонику, содержащуюся в исходном сигнале.

Элементы оптической когерентной системы.

Основными ее элементами являются:

• Модулирующая среда (транспарант);

• Собирающая линза;

• Свободное пространство;

• Квадратичный приемник света.

В общем случае модулирующую среду можно описать функцией:

Содержащей как амплитудную так , так и фазовую модуляцию Ф(х).

Непосредственно на выходе модулирующего транспаранта, освещаемого волной света

Возникает волна света с амплитудой

Как известно, симметричная тонкая сферическая линза описывается функцией пропускания , где F – фокусное расстояние линзы - волновое число.

Свободное пространство описывается на основе цветных соотнощений между предметом и волной света в зрачке.

Пусть заданно в плоскости Р1 распределение света f(x), а на расстоянии D от плоскости Р1 расположена плоскость Р2 в которой распределение света описывается функцией g(u), где - точка с координатами U, V в плоскости Р2. Если вернуться к функции g(x), то можно записать

Где С – постоянное число, не зависящее от х, ни от U.

На выходной оптической системе используется приемник света, например фотоэмульсия.

Фотоэмульсия регистрирует только интенсивность света.

В общем случае характеристическая кривая фотоприемника является нелинейной, но на ограниченном участке ее можно считать логарифмически линейной. Параметр, характеризующий логарифмическую зависимость между почернением или пропусканием света и полной световой энергией, называется коэффициентом контрастности.

Оптический линейный фильтр.

Оптическое устройство из собирательной линзы и транспаранта с нанесенными на него исходными данными (изображением), при определенных условиях и при когерентном освещении выполняет функцию двумерного линейного фильтра. В простейшем случае эти условия заключаются в том, чтобы апертура линзы была достаточно велика, а оптические пренебрежимо малы.

Тогда, для малых апертурных углов, стягивающих транспаранта, такая оптическая система ведет себя как линейный фильтр.

Будем считать отклик на входе сигнала f(x) равен r(x). Если не вход подать два независимых сигнала f1(x) и f2(x), то они каждый в отдельности возбуждают отклики r1(x) и r2(x). Если два сигнала подать в линейной комбинации

То на выходе будем иметь

Сдвинутый сигнал возбуждает постоянно сдвинутый отклик .

Для сигнала при его сдвиге на имеем

Его отклик

Амплитуда исходного сигнала переходит в амплитуду отклика . Задав соотношение можно полностью характеризовать свойства линейного фильтра – преобразовать гармонический сигнал частоты .

Обозначили полученный сигнал через S(x), а аддутивные шумы или помеху через n(x), то оптический сигнал на входе системы Максимальное отличие интенсивности сигнала к шуму получается, если Фурье-образ F(ω) исходный сигнал f(x) пропустить через оптимальный фильтр характеризующийся амплитудным пропусканием

Где - комплексно –сопряженный Фурье-образ полученного сигнала .

Считаем, что (случай ) белого шума), тогда .

Из характеристики структуры этого фильтра видно, что он пропускает только те пространственные частоты, которые содержаться полезном сигнале .

После фильтрации образуется квазиплоская волна опережение фазы в исходной волне компенсируется таким же запаздыванием фазы, создаваемым в фильтре. Шкалу фильтрации представим в виде следующего рисунка.

Рисунок – Условная схема фильтрации в когерентном корреляторе.

Амплитуда квазиплоской волны не больше постоянной на входе фильтра, т.к. с помощью собирающей линзы Л2 квазиплоская волна сфокусируется в небольшое пятно на плоскости Р2.

Размеры его будут тем больше приближаться к дифракционному пятну, чем большей однородностью обладает амплитуда на выходе этого фильтра.

Оптические сигналы.

Характерной особенностью оптических сигналов является их двухмерность. Это свойство связанно с малой длинной световой волны . Частота излучения в оптическом диапазоне составляет ~10¹⁵Гц, энергия излучения лежит в диапазоне 10…1эВ.

Для количественного описания оптического излучения пользуются следующими параметрами:

Энергетические параметры:

• Поток излучения, Ф_R, Вт; ,- энергия излучения,

• Сила излучения, I_R, Вт/ср; , - телесный угол,

• Энергетическая светимость, M_R, Вт/м²; ,

• Энергетическая яркость, L_R, Вт/(ср*м²); ,

• Энергетическая освещенность, E_R, Вт/м²; .

Световые параметры.

• Поток излучения, Ф_V, лм; - светимость, М_v, лм/м²,

• Сила света, Ј_V, кд*лм/ср; - яркость, L_V, кд/м²,

• Освещенность, E_V, лк*лм/м².

Атомы вещества излучают порциями, называемыми волновыми пакетами . Длительность волнового полета и спектр излучения взаимосвязаны: чем больше длительность волны полета, тем уже спектр излучения. В общем случае световые колебания естественного света частотно когерентны, и величина (количественно оценка) когерентности определяется степенью взаимной когерентности. Степень когерентности двух источников с силой света I₁ и I₂ может быть определена через общее уравнение силы света

,

Где - степень взаимной когерентности, являющейся функцией расстояния между источниками и временем распространения света; - фаза колебаний. Если считать, что , то

,

и - интенсивность света и темной полосы интерференционной картины.

Время когерентности определяется как минимальная задержка между интерферирующими световыми волнами снижающими значение до заданной величины. Величина меняется в широких пределах: от для солнечного света до для лазерного излучения высокой степени когерентности .

Вводят понятие оптического сигнала как разновидность электромагнитной волны, в котором в каждой точке пространства электромагнитного поля меняется по гармоническому закону:

,

Где - скалярная функция координат и времени; - амплитуда колебаний напряженности электрического поля; - частота колебаний;

- фаза световой волны.

Рассматриваются только электронная составляющая электромагнитной волны т.к. именно вектор Е ответственен за фиксацию электромагнитной волны квадратичными декадами (фотопленка, фотопластинка, фотоприемник).

Голография.

Принцип голографической обработки информации.

Голография представляет собой метод записи, воспроизведения, преобразования оптических световых полей.

В основе голографии лежит регистрация интерференционной картины, образованной волной отраженной от предмета (предметная волна) и когерентной с ней волной от источника света (опорная волна). При взаимодействии опорной и предметной волны получается новая волна, амплитуда которой является результатом сложения амплитуд опорной и предметной волны в каждой точке плоскости голограммы. Сложение амплитуд происходит в зависимости от фазы каждой волны. Результатом сложения являются точки в которых наблюдается интенсивности в пределах от суммы амплитуд до их разности. Пространственное распределение интенсивности называют интерференционной картиной.

Обозначим обе волны: опорную и предметную

_{Эти волны, взаимодействуя между собой, образуют распределение интенсивности по закону}

Под голограммой подразумевается плоскость, в которую помещается фотопластинка для фиксации распределения светового поля. Разность фаз модулирует амплитуду интерференционной составляющей, т.е. фаза опосредственно записывается и является составляющей интенсивности. Записанную интерференционную картину можно интерпретировать как суперпозицию многократных интерференционных полос или множество дифракционных решеток.

На стадии восстановления изображения голограмма освещается светом той же длинны волны.

При падении лазерного пучка на дифракционную решетку часть лазерного излучения проходит прямо, одновременно формируется два пучка и , отклоняющиеся на угол от оси пучка. Угол зависит от шага d (периода) дифракционной решетки. Для плоской волны, падающей на дифракционную решетку, справедливо условие Брэгга .

Таким образом, при освещении голограммы опорной волной часть дифракционного на ней света воссоздает волновой фронт, который шел от объекта при записи голограммы. Создается так называемое действительное изображения в том месте, где ранее находился объект. Одновременно восстанавливается сопряженная волна, формирующая мнимое изображение. Этот процесс описывается следующим уравнением:

В этом уравнении есть три слагаемых:

1. - - предметная волна , амплитуда которой промодулирована коэффициентом

2. - - предметная волна , промодулированная коэффициентом .

3. - - волна комплексно – сопряженная с предметной. Она несет информацию с отличной от предметной волны фазой. Поэтому, мнимое изображение псевдоскопично или изображение видно как бы изнутри.

Голограмма обладает рядом уникальных свойств:

• Каждый фрагмент голограммы обладает свойством воспроизводить полную записанную информацию.

• Голограмма способна регистрировать и воспроизводить состояние поляризации предметной волны. Картина интерференции в этом случае характеризуется не изменением интенсивности поля, а модуляцией состояния поляризации.

• Голограмма способна формировать обращенную волну, что позволяет компенсировать искажение, вносимые оптическим неоднородными средами.

• Двумерная голограмма позволяет масштабировать изображение при изменении длинны волны источника излучения.

• Объемная голография способна хранить информацию, пропорциональную трехмерной, т.е. гармоники с характерным размером . Таким образом, в объеме 1 см³ при мкм помещается 10¹³ независимых гармоник.

• Ассоциативные свойства голограммы сводятся к следующему: если зарегистрировать два изображения А и В и осветить голограмму излучения от одного из изображений, параметр А, то получаем другое изображение В. Возможно и наоборот.

• Голограмма осуществляет восстановление одного из изображений, если восстанавливающее изображение смещается параллельно самому себе во всей плотности. Это Фурье-голограммы, получаемой от транспаранта в фокальной плоскости линзы.

С помощью методов голограммы можно создавать голограммные оптические элементы, способные осуществить различные преобразования волновых . Их действие основано на явлениях дифракции интерференции света.

Различают отраженные и пропускающие голографические элементы изготовленные на основе фотопластинок.

Голограммные линзы образуются при регистрации интерференционной картины от двух сферических волн на плоских или сферических поверхностях. Голографические и классические линзы одного знака обладают хроматической абберацией противоположных знаков, что используется часто для коррекции изображения в оптических системах. Отражательные голографические линзы могут одновременно выполнять функции светоделителя, сфетофильтра и формирователя изображений.

Голограммные фильтры создаются за счет угловой и секторной селективности трехмерных голограмм.

Голограммные поляризаторы, выполняющие роль коррелятора, и используемые в операциях по распознаванию образов.

В самом общем случае все виды голограмм можно разбить на четыре класса:

1. Голограмма Френеля.

2. Тенеграмма.

3. Голограмма квази-Фурье.

4. Голограмма Фурье.

Каждому классу голограммы соответствует определенная форма функции - сферического френелевского образца, которой соответсвует Фурье-образ .

Тип голограммы	Структура	Образ
Френеля
Тенеграмма
Квази – Фурье
Фурье

- апертурный угол вдоль оси х; - характеризует пропускание по интенсивности, в зависимости от коэффициента контрастности ; - амплитудное пропускание программы; - двумерная плоскость транспаранта, характеризуемая двумя координатами и , которые связанны между собой следующим выражением .

Минимальное значение разрешающей способности линий/мм, требуемое для восстановления предмета размером и максимальной пространственной частотной для каждого типа голограммы различно. Линейное геометрическое увеличение на первой стадии равно: .

Воcстановленное изображение образуется в плоскости на расстоянии за голограммой.

Восстанавливающий источник создает линейное геометрическое увеличение

.

На стадии восстановления увеличенного изображения источник (восстановленное изображение) расположен на расстоянии перед голограммой. Пространственная частота в данном случае вычисляется по формуле:.

Схема голограммы общего вида.

Восстановление , где образуется четкое восстановленное изображение определяется выражением

- длина волны при освещении транспаранта; - длинна волны при восстановленного изображения.

Введя увеличение где - геометрические фокусные расстояния фиктивной линзы, находящийся в плоскости предмета (Пр)

Модулем определяющим разрешающую способность каждого типа голограмм:

Френеля: , линий (мм)	Разрешающей способностью пленки кладет предел пространств разрешению восстанавливаемого изображения.
Тенеграмма:
Квази-Фурье:	В этих двух видах голограмм конечная разрешающая способность пленки ограничивает размеры предмета или поле зрения.
Фурье:

В случае голограммы общего вида фотографическая эмульсия ограничивает как пространственное разрешение, так и размер предмета.