Интерференция волн

Явление интерференции проявляется в периодическом изменении интенсивности освещенности экрана. Чаще всего на экране наблюдаются чередующиеся светлые и темные полосы. Интерференция возникает тогда, когда складываются не менее двух когерентных волн, распространяющихся под углом друг к другу.

Интерференция двух плоских монохроматических волн одинаковой частоты.

Рассмотрим суперпозицию двух плоских волн одинаковой частоты, приходящих в интересующую нас точку каждая со своей фазой₁и_2, имеющие волновые векторыи, и лежащие в плоскости чертежа (рис. 1.1).

Для однородных плоских волн, распространяющихся в не поглощающей среде, амплитуды не зависят от координат и комплексные векторы напряженности электрического поля для этих волн

₁ = E₀₁ exp –i(+₁)

₂ = E₀₂ exp –i(+₂) (1.30)

Комплексную амплитуду результирующей волны можно получить сложением этих двух векторов в каждой точке экрана.

=₁ + ₂ = E₀₁ exp -i(+₁) + E₀₂ exp -i(+₂).

Перейдем от комплексных величин к реальной функции времени и координат.

Интенсивность освещенности равна квадрату напряженности электрического поля. Рассчитаем мгновенное значение интенсивности освещенности в выбранной точке.

I(r,t) =E(t)²=++

+ =

=++

+

Перейдем к действующему значению, которое и будет определять величину освещенности точки. Известно, что действующее значение синусоидальной величины вменьше амплитудного, поэтому

I® = 0.5[ + + ] =

= 0.5{E₀₁² + E₀₂² +2 E₀₁E₀₂ cos [ψ1 – ψ2] } (1.32)

где ψ1=+_1, а ψ2 =+₂.

Суммарная интенсивность будет периодически изменяться, достигая максимумов (пучностей) в точках, для которых выполняется условие

(-)+(₁-₂) =2m(1.33)

где m– целое число.

Минимумам интенсивности (узлам) соответствует условие

(-) + (1 -2) =2(m+1) (1.34)

Полученную картину называют интерференционной. Если разность фаз (₁-₂) постоянна во времени, то и положение узлов и пучностей остается неизменным в пространстве, т. е. наблюдается стабильная интерференционная картина.

Пусть две волны распространяются в плоскости хоупод углом ±к осиу (рис.2). Рассчитаем поле в точке А. с координатамих иу. Рассмотрим скалярное произведение (-) = – , которое входит в выражение (1.32) для интенсивности освещенности. Модуль волнового вектора называют волновым числом и обозначают. Угол между векторамии:

 + arctg(x/y),

А между векторами и:

 - arctg(x/y),

Воспользуемся этими выражениями и фазы обоих сигналов в точке А (см.1.32).

Волновые числа 1 и2 можно рассчитать, зная длину волны в вакууме и показатель преломления среды

Фаза световых колебаний, испускаемых любым реальным источником, хаотически изменяется со временем. Поэтому, если источники света, образующие рассматриваемые плоские волны, совершенно независимы, то будет хаотически меняться величина (₁-₂), что приведет к размытию интерференционной картины. Среднее значениеcos[(-) – (₁-₂)] за время измерений (если оно достаточно велико) окажется равным нулю, и формула (1.32) даст нам простое сложение интенсивностей двух волн:

I=E₀₁²+E₀₂²(1.35)

Разумеется, если фазы световых волн, испускаемых независимыми источниками, меняются медленно, что происходит в случае высокостабильных лазеров, то можно наблюдать интерференционную картину и от двух независимых источников, особенно в тех случаях, когда измерения интенсивности производятся достаточно быстро. В случае же обычных (не лазерных) источников света для получения интерференционной картины фазы ₁ и₂должны быть связанными, как это бывает, если интерферирующие волны являются частями одной и той же первичной волны. При этом, несмотря на то, что фазы₁ и₂могут меняться во времени хаотически, их разность (₁-₂) остается постоянной, что и обеспечивает стабильность интерференционной картины. Если угол между волновыми векторами равен, расстояние между максимумами интерференционной картины можно получить из (1.33) или (1.34).

Пространственная частота, равная числу полос в 1 метре

Контрастом или видностью интерференционной картины называют величину:

Контраст интерференционной картины максимален и равен единице при α = 1, т. е. когда амплитуды суммируемых волн равны.

Интерференция плоских монохроматических волн разной частоты.

Рассмотрим теперь, как изменится интерференционная структура, если монохроматические плоские волны отличаются по частоте. Здесь уже нельзя использовать метод комплексных амплитуд из-за того, что частоты различны.

Запишем уравнения волн в виде мгновенных комплексов, учитывающих угловую частоту:

₁ = E₀₁ exp [i (₁t -)+₁)

₂ = E₀₂ exp [i(₂t -)+₂)

Проведем те же операции, что и в предыдущем случае и рассчитаем действующее значение интенсивности. Теперь эта величина не будет постоянной во времени из-за различия угловых частот. Просуммируем эти волны и найдем интенсивность результирующей картины, полагая (₁-₂) = 0:

I= 0.5(E₀₁² + E₀₂² + 2 E₀₁ E₀₂ cos (-Ωt)), (1.47)

где Ω = ₁-₂.

Это выражение описывает бегущую интерференционную картину — волну интенсивности. В каждый фиксированный момент времени t₁положение пучностей будет описываться выражением

(-) = 2(m+1) + Ωt₁ ; (1.48)

которое, как и в предыдущем случае, представляет собой уравнение системы плоскостей, перпендикулярных к вектору (-). Однако в этом случае волновые векторы отличаются не только по направлению, но и по абсолютной величине (₁≠ ₂). В соответствии с этим плоскости пучностей не параллельны биссектрисе угламежду волновыми векторами, а составляют с ней некоторый уголχ(рис.1.4)

tgχ=