Содержание

Введение 7

1 Операции с векторными полями. Задание 1 8

2 Операции с векторными полями. Задание 2 9

3 Операции с векторными полями. Задание 3 10

4 Операции с векторными полями. Задание 4 11

5 Уравнения Максвелла. Задание 1 12

6 Уравнения Максвелла. Задание 2 13

7 Уравнения Максвелла. Задание 3 14

8 Плоские волны в однородных средах 15

9 Плоские волны в неоднородных средах. Задание 1 16

10 Плоские волны в неоднородных средах. Задание 2 17

11 Плоские волны в неоднородных средах. Задание 3 18

12 Плоские волны в неоднородных средах. Задание 4 19

Заключение 20

Список литературы 21

Приложение 22

Связь между проекциями вектора в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат 22

Введение

Во введении описывается цель выполнения работы.

Описывается по порядку какая глава чему посвящена, какие делаются расчеты, построения и т.п..

1 Операции с векторными полями. Задание 1

Вычислить градиент в прямоугольной, цилиндрической, и сферической системе координат от скалярной функции (смотри табл. 1). Полагая z = 1, постройте поверхности равного уровня на плоскости x0y. Для этого заданную в прямоугольной системе координат скалярную функцию переведите в цилиндрическую и сферическую. Формулы перевода приведены в приложении.

Скалярная функция u = x + y² + z.

Решение.

Градиент скалярной функции в прямоугольной системе координат

. (1.1)

…

Ответ. Для скалярной функции u = x + y² + z: градиент в прямоугольной системе координат ; функция в цилиндрической системе координат , а ее градиент ; функция в сферической системе координат , а ее градиент

Для z = 1, поверхности равного уровня на плоскости x0y для скалярной функции u = x + y² + z представляют собой параболические функции, развернутые на 90 градусов против часовой стрелки, смещающиеся вправо при увеличении постоянной C.

2 Операции с векторными полями. Задание 2

Вычислить дивергенцию и ротор в прямоугольной, цилиндрической и сферической системе координат от векторной функции (смотри табл. 1). Для этого заданную в прямоугольной системе координат скалярную функцию переведите в цилиндрическую и сферическую. Формулы перевода приведены в приложении. Полагая z = 1, постройте силовые линии поля на плоскости x0y в прямоугольной системе координат

Векторная функция .

Решение.

Дивергенция – это скаляр, описывающий источник поля. Дивергенция вектора в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат [5, стр. 540] определяется из соотношений

, (2.1)

Ответ. Вычислены дивергенции и роторы векторной функции в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат.

Силовые линии векторного поля представляют собой прямые, проходящие паралельно оси x. При значениях y₀ от -50 до -200 ветви силовых линий смещаются от значения y = - 50 до y = - 200, а затем при изменении y₀ от 50 до 200 значения смещаются от y = 50 до значения y = 200.

3 Операции с векторными полями. Задание 3

Вычислить поток векторной функции через поверхность шара радиусом R (смотри варианты задания) с центром в начале координат.

Векторная функция ; R = 8 м.

Решение.

Поток радиус-вектора через поверхность сферы описывается выражением

. (3.1)

Ответ. …

4 Операции с векторными полями. Задание 4

Вычислить циркуляцию векторной функции (смотри табл. 1) по окружности радиусом R (смотри табл. 1) с центром в начале координат и расположенной в плоскости x0y.

Векторная функция ; R = 8 м.

Решение.

Циркуляцией Ц векторного поля называется линейный интеграл, взятый вдоль замкнутой ориентированной кривой L

. (4.1)

Ответ. …

5 Уравнения Максвелла. Задание 1

Рассчитать электрическое поле, создаваемое бесконечно длинным цилиндром, диаметром D, на расстояниях r₁ и r₂ от его оси. В цилиндре равномерно по объему распределен электрический заряд с объемной плотностью σ (Кл/м³).

D = 0,6 м; r₁ = 0,2 м; r₂ = 12 м; σ = 1,310^-3 Кл/м³.

Решение.

Напряженность поля бесконечно длинной равномерно заряженной цилиндрической поверхности определим по закону Гаусса как поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность S

, (6.1)

где E – напряженность поля, В/м;

S – замкнутая поверхность;

₀ = 8,8510^-12 Ф/м – электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума); а заряд определяется из соотношения

Ответ. …