10

Лабораторная работа №1

по курсу "Компьютерная томография"

УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА ПРОДОЛЬНЫХ РЕНТГЕНОВСКИХ ТОМОГРАММ МЕТОДОМ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

1.Теория формирования продольных томограмм

Возможность получения информации о внутреннем строении объектов в их продольных плоскостях дает классическая томография, а так же ее разновидность – томосинтез или метод кодированого источника. Эти методы нашли наибольше применение в рентгенографии. Возможно так же использование с другими видами зондирующего излучения. Классическую томографию называют продольной томографией, хотя на самом деле синтезируемые по этоиу методу так называемые классические томограммы не являются изображениями сечений. Они лишь в некотором приближении отражают истинное распределение внутренних неоднородностей в продольных сечениях объекта.

Рассмотрим способ описания процесса востановления продольных томограмм.

рис.1:

1, 1’ ,1” – источники зондирующего излучения,

2- объект,

3 – плоскость регистратора;

O, O’ ,O” – проекции начала координат на плоскость регистратора (центры проекций);

ось z перпендикулярна плоскости рисунка.

Пусть функция описывает искомое распределение внутренних неоднородностей объекта, например коэффициента ослабления зондирующего излучения. Предположим, что исследуемый объект зондируется плоскими двумерными пучками проникающего излучения, оси которых лежат в плоскости (x,y) и пересекаются в точке О. На рис.1 изображена веерная схема зондирования, однако для простоты рассмотрения будем предполагать, что источник зондирующего излучения расположен на достаточном расстоянии от объекта. Тогда можно считать зондирующие пучки в области объекта параллельными. Предполагаем также, что траектория зондирующих лучей прямолинейна, то есть, не учитываем эффекты дифракции и рефракции проникающего излучения.

При томографическом исследовании объектов в качестве исходной информации для продольной томографии используется набор двумерных проекций

(1)

которые представляют собой линейные интегралы от искомого распределения вдоль прямых зондирования, задаваемых уравнением , где ось p перпендикулярна оси зондирующего пучка и составляет угол с осью x (рисунок), - дельта – функция.

Интегральное преобразование (1) называется преобразованием Радона [2].

Для восстановления воспользуемся алгоритмом суммирования фильтрованных обратных проекций.

(2)

Оператор фильтрации определяется как

(3)

где - значок одномерной свертки,

- импульсный отклик так называемого ро-фильтра .

При данной геометрии зондирования поперечной томограммой будет изображение, яркость которого пропорциональна функции , а продольная томограмма описывается функциейТаким образом, для синтеза продольной томограммы необходимо в каждом поперечном сечении z = const восстановить искомое распределение вдоль какой-либо прямой y = const, то есть восстановить лишь часть (линию) из поперечной томограммы. Такой подход позволяет получить уравнение продольной томограммы из выражения (2) заменой переменной y ее фиксированным значением y = yk. Как следует из (2), для восстановления продольной томограммы среза y = yk необходимо над двумерными проекциями выполнить следующие операции:

1. Одномерную ро-фильтрацию проекции (3).

2. Одномерное “растяжение” каждой -ой фильтрованной проекции на величину обратно пропорциональную, то есть перейти от к .

Эта операция эквивалентна операции поворота проекции на угол в методе поперечной томографии.

3. Сдвинуть вдоль оси x центры каждой - ой проекции на величину относительно центра проекции, полученной при нулевом угле зондирования, т.е. перейти к

4. Просуммировать все сдвинутые, “растянутые” и фильтрованные проекции. Эта операция эквивалентна интегрированию в выражении (2).

Изменение величины (амплитуды) сдвига центров проекций приводит к восстановлению другой продольной томограммы. Таким образом, имея двумерные проекции и выполнив над ними первые две одномерные операции, можно последовательно восстановить все продольные томограммы, то есть получить трехмерное распределение .

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать задачу восстановления изображения продольного сечения объекта, проходящего через начало координат, т.е. продольной томограммы . Как следует из (2),

, (4)

то есть третья операция в этом случае сводится к совмещению центров проекций. Заметим, что если в (2) и (4) не выполнять первую операцию ро-фильтрации проекций, то вместо томограммы формируется так называемое суммарное изображение [5]

(5)

Покажем, что в классических продольных томографах аналоговым способом реализуются операции 2-4. Как видно из рис.1, операция растяжения проекций в классическом томографе выполняется за счет того, что нормаль к плоскости регистратора при его движении относительно объекта образует угол с осью зондирующего пучка, то есть на регистраторе записывается информация о растянутых проекциях . За счет синхронного движения источника и регистратора достигается совмещение центров проекций и их суммирование. Так как не выполнена операция фильтрации проекций, то можно сделать вывод, что классическая томограмма есть продольное суммарное изображение s(x,0,z).

Если в (5) подставить определение проекции (1), то после интегрирования по углу получим уравнение классичексой томограммы

(6)

т.е. классическая томограмма, полученная в томографе с прямолинейной траекторией пары источник-регистратор, представляет собой сумму искаженных изображений искомого сечения и всех остальных продольных плоскостей

При исследовании нестационарных объектов для исключения движения источника и регистратора используются одновременно несколько источников зондирующего излучения (метод томосинтеза) либо применяется кодированный источник, то есть источник с переменной по его площади интенсивностью излучения. Нетрудно видеть, что на регистраторе одновременно записывается целый набор растянутых проекций , центры которых разнесены. Дальнейшая обработка полученной информации с целью восстановления изображений продольных сечений заключалась в сдвиге центров проекций и суммирования. Эта операция выполнялась оптически либо с помощью дифракционных решеток, точнее, Фурье – голограмм точечных отверстий, геометрия расположения которых на транспаранте повторяет геометрию расположения источников зондирующего излучения, либо с помощью растровой проекционной системы. В зависимости от величины сдвига центров проекций изменялось положения выделяемого продольного сечения. Так как в этих системах также не выполняется операция фильтрации проекций, то синтезируемые в них изображения являются продольными суммарными изображениями. Дополнительные искажения в восстановленном суммарном изображении возникают из-за переналожения проекций на регистраторе. Для уменьшения этих искажений используют специальные виды распределения источников зондирующего излучения, чтобы их функция автокорреляции приближалась к -функции.

Из анализа уравнения (6) можно получить другой метод восстановления продольных томограмм, который основан на возможности их реставрации из классических томограмм. Перепишем выражение (4) в развернутом виде

.

После замены переменных получим

. (7)

Из определения фильтрующей функции следует, что

.

Тогда, меняя в (7) порядок интегрирования, получаем

Таким образом, если суммировать растянутые проекции с весовым коэффициентом , то для восстановления продольной томограммы достаточно один раз выполнить одномерную ро-фильтрацию такого модифицированного суммарного изображения. Когда угол обзора мал, множителем можно пренебречь и тогда

,

то есть путем одномерной ро-фильтрации классической томограммы можно реставрировать продольную томограмму.

Рассмотрим вопросы практического применения полученных теоретических результатов для фильтрации продольных томограмм, получаемых в продольных рентгеновских томографах. Эти томографы широко применяются в отечественной медицинской практике.

В лабораторной работе необходимо осуществить улучшение качества получаемых на продольных томографах томограмм с помощью методов цифровой фильтрации.

Математические основы метода аналогичны описанному выше алгоритму синтеза изображений сечений при двух главных отличиях:

Продольная томограмма уже является суммой всех изображений сечений.

Восстановить можно только один центральный слой.