Задачи / 3семестр,ДЗ / Дз№2_третий семестр / Вар2

Цель работы: Расчет и исследование сложной электрической цепи переменного синусоидального тока (определить токи, напряжения, мощности оптимальным методом).

Задания:

1. Изобразить схему.

2. Рассчитать токи всех ветвей методом контурных токов, используя при этом правило Крамера. (Проверить результат топологическим методом).

3. Рассчитать токи всех ветвей методом узловых потенциалов, используя при этом правило Крамера. (Проверить результат топологическим методом).

4. Проверить полученные результаты по законам Кирхгофа.

5. Проверить баланс мощностей.

6. Построить топографическую и векторную диаграммы заданной цепи.

R1 = 110 Ом R2 = 110 Ом R3 = 75 Ом R6 = 110 Ом R8 = 75 Ом R10 = 110 Ом J = 0.3 A E = 15 B L1 = 30 мкГн L2 = 50 мкГн C6 = 3 мкФ C10 = 2 мкФ F = 2000 Гц

1. Метод контурных токов.

Для решения поставлено задачи по нахождению токов по МКТ необходимо составить граф-схему цепи.

Изобразим на нем также токи ветвей дерева, так как они нам понадобятся при расчете топологическим способом.

Запишем комплексы сопротивлений всех ветвей, учитывая, что реактивные сопротивления будут мнимой частью комплексного числа, а активные – действительной.

Z₁ = R₁ + 2π*F*L₁*j;

Z₂ = R₂ + 2π*F*L₂*j;

Z₃ = R₃;

Z₆ = R₆ - 1/(2π*F*C₆)*j;

Z₈ = R₈;

Z₁₀ = R₁₀ – 1/(2π*F*C₁₀);

Запишем систему уравнений для контурных токов так же, как и для цепей постоянного тока.

I₁₁(Z₁+Z₂+Z₈) + I₃₃Z₂ + I₁₀₁₀Z₈ – J*Z₂ = E;

I₃₃(Z₃+Z₂+Z₆) + I₁₁Z₂ - I₁₀₁₀Z₆ – J(Z₃ +Z₂)= 0;

I₁₀₁₀(Z₈+Z₆+Z₁₀) + I₃₃Z₆ + I₁₁Z₈+J*Z₆ = E;

То же самое, но в матричной форме:

;

Решаем данную систему из трех уравнений методом Крамера. В матрицу комплексных сопротивлений ставим вместо первого столбца вектор-столбец ЭДС – таким образом, получим новую матрицу (B1). Проделаем ту же операцию с остальными столбцами – получим еще 2 новые матрицы (B2, B3).

Полученный результат:

I₁₁ =0,1014 + 0,0029j;

I₃₃ = 0,1790 – 0,0093j;

I₁₀₁₀ = - 0,0213 + 0,0019j

Мы нашли токи в ветвях 1, 3 и 10. Теперь по первому правилу Кирхгофа найдем токи во всех ветвях.

I₂ = I₁ + I₁₀ - J = - 0.0196 – 0.0069j;

I₈ = I₁ + I₁₀ =0.0801+0.0048j;

I₆ = I₁₀ - I₁ + J= 0.0997 + 0.0112j;

Проверим выполнение первого закона Кирхгофа для четвертого узла:

I₈ = I₂ + I₆;

0.0801+0.0048j = - 0.0196 – 0.0069j + 0.0997 + 0.0112j

Закон выполняется!

Проверим полученный результат топологическим методом.

Нам необходимо составить матрицы контуров и комплексных сопротивлений и векторы-столбцы источников тока и ЭДС.

Ниже представлена матрица контуров:

Матрица комплексных сопротивлений:

;

Составим вектор-столбец ЭДС.

Так как источник ЭДС есть только в восьмой ветви, то он будет следующим:

.

Составим вектор-столбец источников тока в ветвях.

Если направление тока в контуре источника совпадает с направлением тока ветви, то поставим значение J, если эти токи встречны, то поставим –J. Если ветвь не принадлежит контуру источника тока, то поставим 0. В таком случае получим:

.

Теперь мы можем найти матрицу токов всех хорд цепи.

_;

_;

Тогда .

После приведенных выше действий был получен следующий результат:

.

Что в точности соответствует результату, полученному нами по методу контурных токов.

2. Метод узловых потенциалов

Заземлим четвертый узел.

Запишем комплексные проводимости для каждой ветви, учитывая, что Y=1/Z. Тогда матрица проводимостей будет вида:

;

Составим вектор-столбец токов, подходящих к узлам.

В окончательном варианте получим матричное уравнение:

, решая которое методом Крамера, мы найдем потенциалы всех узлов схемы.

Проверим правильность найденных нами потенциалов топологическим методом для МУП.

Составим матрицу соединения узловых проводимостей ветвей схемы:

В ней строки отвечают за узлы, а столбцы – за ветви цепи. Если ток в j-той ветви входит в i-тый узел, то на пересечении i-той строки и j-того столбца поставим -1, если же ток в j-той ветви выходит из i-того узла, то поставим 1, и поставим 0, если j-тая ветвь не содержит i-тый узел.

Для нахождения вектора-столбца потенциалов нам понадобится также матрица комплексных проводимостей:

Составим вектор столбец источников тока:

Искомый вектор столбец потенциалов узлов: найдем из матричных уравнений:

Был получен следующий результат:

.

Что полностью совпадает с найденными потенциалами по МУП с помощью правила Крамера.

Зная комплексные потенциалы, мы легко можем найти токи во всех ветвях по второму закону Кирхгофа.

Рассчитаем их:

Токи найденные по двум методам совпадают.

3. Проверим найденные токи по второму закону Кирхгофа.

Составим три уравнения, так как в нашей цепи 3 контура. Для каждого из контуров должен выполняться второй закон Кирхгофа.

После подстановки значений найденных токов и исходных комплексов сопротивлений мы получаем верные равенства. Значит для всех контуров второй закон Кирхгофа выполняется.

4. Проверка баланса мощностей.

По условию баланса мощностей, в цепи активные и реактивные мощности источников должны быть равны потребляемым мощностям.

S_ист = U₁₂*J^* + E*I₈^*;

S_ист = 5,2277-0,2811j;

Как видно активные и реактивные мощности совпадают, значит, токи и потенциалы мы нашли правильно.

5. Топографическая диаграмма.

Мы не будем обозначать потенциал точки b, так как он мал (φ_b = 0,004-0,0123j)

6. Векторная диаграмма.

9