Лекции / Лекции (2 семестр) / 3

Y_2p(p) g₂ g₂

. . .

Лекция 9. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

В общем случае рассматривая линейную систему относительно ее входных и выходных зажимов и соответственно обозначив переменные (токи и

напряжения) как r(t) и c(t), можно получить дифференциальное уравнение, устанавливающее связь между ними :

Коэффициенты - являются действительными числами

и определяются элементами системы .

Решение уравнения может быть найдено с помощью преобразования Лапласа. При нулевых начальных условиях для r(t) и c(t) можно записать:

или:

- ПЕРЕДАТОЧНАЯ

ФУНКЦИЯ СИСТЕМЫ зависит лишь от схемы и не зависит от формы

входного сигнала

Физический смысл H(s); если R(s)=1 ,то C(s)=H(s); т.е. реакция системы на

выходе численно равна передаточной функции системы.

Из математики известно, что операторное изображение равно 1 для d(t). Тогда передаточная функция системы является изображением по Лапласу импульсной характеристики цепи при нулевых начальных условиях в схеме.

Следовательно, зная H(s) и операторное изображение входного воздействия можно вычислить операторное изображение выходного воздействия

по формуле: C(s)=H(s)´R(s).

Во временной области передаточная функция определяется как импульсная характеристика цепи. а связь между входным и выходным воздействиями устанавливается с помощью интеграла свертки:

Основные свойства передаточная функция системы.

1. Передаточная функция определена только для линейных время-инвариантных систем. Для нелинейных систем она смысла не имеет.

2. Передаточная функция между входной и выходной переменными определена как изображение по Лапласу импульсной характеристики цепи. Или иначе - передаточная функция определяется как отношение операторных изображений входного и выходного сигналов.

3. При определении передаточной функции все начальные условия в схеме

(т.е. U_C(0)=0, I_L(0)=0 и их произведение )должны быть равными нулю.

4. Передаточная функция не зависит от вида входного сигнала.

5. Передаточная функция представляется функцией комплексной

переменной s. Она не является функцией времени или какой-либо другой переменной.

Передаточная функция H(s) действительно является дробно-рациональной функцией комплексного переменного s . Она может быть представлена в виде:

где G - постоянный коэффициент; d_i и s_j - нули и полюса функции H(s).

Разложение изображения на простые дроби:

Значение вычета определяется по формуле:

-для случая простых корней

Передаточную функцию можно использовать и для определения коэффициента усиления и фазового сдвига для синусоидального сигнала. проходящего через линейные цепи.

Рассмотрим прохождение сигнала вида:

через линейную цепь с передаточной функцией H(s).

Необходимо отметить. что все полюса функции H(s) являются полюсами

функции R(s). Поскольку H(s) обеспечивает затухание переходного процесса

при t®0 ( т.к. представляет собой реакцию системы на d(t)), то R(s) в области оригиналов будет при t®0 так же убывать к 0.

Следовательно:

, при этом

Тогда

Сравнивая X₁(t) и X₂(t), можно видеть, что

1. В установившемся режиме выходной сигнал имеет ту же самую частоту, что и входной сигнал.

2. Относительно входного сигнала выходной сигнал изменен в раз

по амплитуде и на F по фазе.

При изменении частоты рассуждения можно повторить для каждого значения частоты и построить графики АЧХ и ФЧХ. Таким образом можно определять изменения сигналов по амплитуде и фазе в различных ветвях схемы при синусоидальном возмущении.