Курсовая работа студента группы МП-20а Трегубенко Артемия по предмету

Основы ЭТ и теории цепей.

Задание 1 (вариант)

Дано:

U(t) = 21.2sin(500t+30) В

R = 10 Ом

L = 20 мГн

= 500 c^-1

Определить i_L(t) классическим методом

Решение:

U(t) = 21.2sin(500t+30) = 15e^i(500t+30) (В)

Рассчитаем переходной процесс в схеме RL.

1) Найдем принужденную составляющую

i_Lвын(t), для этого изобразим данную схему в установившемся режие после коммутации:

Определим i_Lвын(t) по закону Ома:

i_Lвын(t) = (А)

2) Найдем свободную составляющую тока

iL_своб(t), решив однородное уравнение

2a) Решение будем искать в виде Ae^-pt, при начальных условиях i_{L св.}(0)= А.

p – показатель экспоненциальной функции и определяется следующим образом:

= Аpе^pt

i_L св.(t)= Ае^pt => LАpе^pt + RАе^pt = 0

Отсюда p =; подставив значения, получим: p = -500 (c^-1)

2б) Найдём постоянную интегрирования A, для этого воспользуемся первым законом коммутации: i_L (-0) = i_L (+0)

Так как в схеме до коммутации цепь была разомкнута и ток равнялся 0, то запишем равенство:

I_L(-0)= 0 = i_L(+0)=i_L св.(+0)+ i_L пр.(+0)=

А+;

Из него получим: А = -=0.39(A)

3) Запишем полное решение для переходного процесса в данной схеме:

i_L(t)=i_L св.(t) + i_L пр. (t)= =(A)

4) Построим график: i_L св.(t)

Поскольку ток через индуктивность не может меняться скачком (по 1 закону коммутации), он изменяется плавно. Синусоидальная составляющая порождается генератором, а экспоненциальная – инерционность тока в катушке.

Задание 2 (вариант )

Дано: R₁ = 15 Ом

R₂ = 15 Ом

R₃ = 10 Ом

R₄ = 20 Ом

J = 6 А

E = 60 В

С = 20 мкФ

Рассчитать U_RC классическим методом

Решение:

Решим задачу методом наложения.

1) Удалим из цепи источник ЭДС:

Рассчитаем переходной процесс в схеме RC.

Ответ будем искать в виде

U_RC(t) = U_{RC своб}(t)+U_{RC вын}(t),

где U_{RC своб}(t) =

Определим U_RC(t) до коммутации по закону Ома: U_RC(-0)= J(R₃+R₄)=180(В)

После коммутации

U_{RC вын}(t) = JR₃ = 60 (В)

Определим константы p и A:

Z_вх =

Z(p) =

(c^-1)

Для определения A воспользуемся первым законом коммутации:

U_C(-0) = U_C(+0) = J(R₃+R₄) = JR₃+A

= JR₄ = 120 (В)

Таким образом,

U_RC (t) = 60 + 120e^-2380t (В)

2) Удалим из цепи источник тока вместе со всей ветвью.

Ответ будем искать в виде U_RC(t) = U_RCсвоб(t)+U_{RC вын}(t), где U_RCсвоб(t) =

До коммутации ключ разомкнут, поэтому U_RC (0) = 0

После коммутации:

U_RCвын = E = -60 (В)

Определим константы e и A:

= -2000 (с^-1)

Воспользуемся вторым законом коммутации:

U_RC (-0) = U_RC (+0) = U_RCвын + A = 0

A = U_RCвын = 60 (В)

Таким образом,

U_RC (t) = -E(1-e^pt) = -60(1-e^-2000t) (В)

Складывая значения U_RC для двух источников, получаем:

U_RC (t) = 120e^-2380t +60e^-2000t (В)

Согласно второму закону коммутации, скачок напряжения на конденсаторе невозможен. Поэтому напряжение убывает экспоненциально.

Задание 3 (вариант 17)

Дано:

J = 10 А

R₁ = 1 Ом

R₂ = 1 Ом

R₃ = 1 Ом

R₄ = 1 Ом

L = 1 Гн

Определить i₃(t) операторным методом

Решение:

Определим значения i₃ и i₂ до коммутации по закону Ома:

i₃(0) = 10/2 = 5(А)

i₂(0) = 10/2 = 5(А)

Составим операторную схему замещения:

Найдем I₃(p) методом контурных токов.

Для этого составим систему уравнений:

I₁₁(p)+(1+p)(I₁₁-I₂₂) = 10/p+5;

I₂₂+(1+p)(I₂₂-I₁₁) = 5

Решая ее, получим:

I₁₁+ I₂₂ = 10/p

I₂₂ (3+p) = -5+(1+p)*10/p

I₂₂(p) =

I₂₂(p) =

p1=0; p2= -3

Проверка: порядок числителя – 1, порядок знаменателя – 2, порядок переходного процесса – 1 (один индуктивный элемент в схеме)

Найдем оригинал I₂₂(p), используя таблицу изображений:

i₂₂ = 5-(1-e^-3t) (А)

Согласно первому закону коммутации, ток через индуктивность не может меняться скачком, поэтому он экспоненциально убывает до установившегося значения.

Задание 4 (вариант 17)

Дано:

E(t) = 200sin(10⁴t+45) В

R₁ = 40 Ом

R₂ = 10 Ом

E₁ = 100 В

L = 1 мГн

= 10000 c^-1

Определить i₂(t)

Решение:

Определим i_L(t) до коммутации по закону Ома:

E(t) = 200sin(10⁴t+45) = 141e^i(10000t+45)

i_L(t) = i₃(t) =

i_L(0) = i₃(t) = 10 (А)

Составим операторную схему замещения:

Составим уравнение для I₂(p):

I₂(p)(50+10^-3p) = -10^-3 10

I₂(p) =

p1 = 0; p2 = 50000

Проверка: порядок числителя – 1, порядок знаменателя – 2, порядок переходного процесса – 1 (один индуктивный элемент в схеме)

Найдем оригинал I₁₁(p), используя таблицу изображений:

I₂(t) = 12(1-e^-50000t) -10 = 2 – 12e^-50000t(А)

По первому закону индукции ток через индуктивность не может меняться скачком. Поэтому после коммутации ток в новом контуре равен току через индуктивность до коммутации. Затем ток экспоненциально изменяется до установившегося значения.

Задание 5 (вариант 16)

Дано:

R1=100 Ом;

R2=100 Ом;

C=1 мкФ;

E=400 В;

L=10 мГн;

Определить i_L(t) операторным методом

Решение:

До коммутации i_L(t) = 0, U_C=400 В

Составим операторную схему замещения:

Найдем i_L(p) методом контурных токов:

Для контура 11: I₁₁(p) =

400/(p(200+p/100)) =

40000/(p(p+20000))

Для контура 22: I₂₂(p) = 400/p/(10⁶/p+100+p/100) = 40000/(10⁸+10⁴p+p²)

p=5000(-1i)

Корни комплексно-сопряженные, поэтому оригинал – затухающие синусоидалные колебания

Проверка:

Порядок числителя = 0

Порядок знаменателя = 2

Порядок переходного процесса = 2

Найдем оригинал:

i_L11(t) =2(1-e^-20000t) (А)

i_L22(t) =

(А)

Найдем искомый ток как сумму двух контурных:

i_L22(t) =2(1-e^-20000t)+ (А)

Результирующий график есть сумма двух графиков:

Экспоненциальная составляющая демонстрирует плавный рост тока через индуктивность, а затухающая синусоидальная – колебания в RLC контуре.

Задание 6 (вариант 16)

Дано:

R1=R2=R3=100 Ом

L1=1 мГн

L2=2 мГн

E=100 В

Определить i_L2(t) операторным методом.

Решение:

Определим значения i_L1 и i_L2 до коммутации по закону Ома:

i_L1= 2/3 А

i_L2= 1/3 А

Составим операторную схему замещения:

I(p) = (100/p+10^-3)(200+3*10^-3p) =

= 1/3p+1/6*(2/3*10⁵)/(p+2/3*10⁵)

p1 = 0;

p2 = -2/3*10⁵

Проверка:

Порядок числителя = 0

Порядок знаменателя = 2

Порядок переходного процесса = 2

Перейдем к оригиналам, используя таблицу изображений:

I_L2(t) =

(А)

Пострим график функции:

Ток через индуктивность, согласно первому закону коммутации, не может меняться скачком, поэтому он экспоненциально возрастает до установившегося значения