Лабы / ЧМ.Лабы.Лисовец / ЧМ.labs.by mice / lab04 / lab

Лабораторная работа №4

Среднеквадратичное приближение. Метод наименьших квадратов.

Найдите обобщенное решение (в смысле метода наименьших квадратов)

переопределенной системы:

Найдите невязку, равную разности между левой и правой частями системы, при подстановке полученного решения. Почему невязка отлична от нуля?

Рассмотрим применение среднеквадратичного приближения к обработке экспериментальных данных. Представим шар, катящийся по столу. Очевидно, что в отсутствии силы трения его движение будет равномерным и прямолинейным, а траектория описываться законом: . За шариком следит наблюдатель, который измеряет его координаты в дискретные моменты времени. Из-за несовершенства приборов результаты оказываются искаженными – ошибка измерения координат распределена по нормальному закону с .

Восстановите пропущенные координаты обыкновенной интерполяцией (по Ньютону или Лагранжу). Сравните полученный результат с реальной траекторией движения шарика. Очевидно, интерполяция дает далеко не лучший результат из-за того, что координаты измерялись с погрешностью – интерполяция повторяет (а часто и усиливает) эффекты внесенной ошибки.

Гораздо лучший результат можно получить, используя среднеквадратичную аппроксимацию. Более того, ее использование позволит получить приближенные параметры движения . В качестве функции наилучшего приближения будем использовать полином. Очевидно, получив многочлен в виде , можно сразу же выписать приближенные значения параметров движения.

Напишите функцию, которая по заданным точкам выдает коэффициенты полинома наилучшего приближения заданной степени. Используя соображения, изложенные выше, найдите численно параметры движения тела, закон движения которого задан формулой . Измерения проводятся при . Посмотрите, какие получаются результаты при разном количестве задаваемых точек.

Проделайте аналогичные вычисления для функции .

Задайте функцию на отрезке [0,1] в 10 узлах и погрешность измерений . Приближайте ее последовательно полиномами от второй до десятой степени. На что похожи коэффициенты получающихся полиномов?

Реализация функциями MATLAB

p = polyfit(x,y,n) – функция вычисляет коэффициенты полинома наилучшего приближения степени n, проходящего через точки (x,y). Используйте ее для получения решения предыдущих примеров.

1