Выводы.

Для доказательства сходимости полученной конечно-разностной схемы я проверил условия теоремы, приведенной в использованной мною литературе, для матрицы А данной задачи. Теорема утверждает, что если А – самосопряженный и положительно определённый оператор в пространстве сеточных функций и оператор(т.е. положительно определен в), тогда стационарный двухслойный итерационный процесс сходится в нормек точному решениюu системы. ГдеB=D+L, D - диагональ матрицы А,L - элементы матрицы А, расположенные ниже главной диагонали. Для метода Зайделя. Текст программы shod.m, реализующей эту проверку можно найти в Приложении 4. В случае невыполнения одного из условий теоремы, программа выдаёт соответствующее сообщение об ошибке, иначе сообщение о положительном результате проверки. В данном случае проверка матрицы А дала положительный результат.

Таблица 2. Результаты вычислений программы kurs.m при значениях N=M=10, .

i \ j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0.0012	0.0026	0.0111	0.0210	0.0339	0.0495	0.0683	0.0913	0.1198	0.1564
2	0	0.0023	0.0129	0.0291	0.0494	0.0749	0.1056	0.1425	0.1871	0.2415	0.3090
3	0	0.0095	0.0273	0.0521	0.0831	0.1208	0.1657	0.2192	0.2831	0.3601	0.4540
4	0	0.0177	0.0440	0.0784	0.1200	0.1694	0.2273	0.2953	0.3758	0.4719	0.5878
5	0	0.0272	0.0632	0.1075	0.1594	0.2195	0.2888	0.3691	0.4629	0.5740	0.7071
6	0	0.0377	0.0841	0.1386	0.2006	0.2705	0.3494	0.4392	0.5427	0.6642	0.8090
7	0	0.0494	0.1072	0.1723	0.2440	0.3226	0.4092	0.5056	0.6147	0.7410	0.8910
8	0	0.0629	0.1331	0.2092	0.2904	0.3768	0.4692	0.5692	0.6793	0.8042	0.9511
9	0	0.0790	0.1633	0.2511	0.3416	0.4350	0.5317	0.6325	0.7393	0.8553	0.9877
10	0	0.1000	0.2000	0.3000	0.4000	0.5000	0.6000	0.7000	0.8000	0.9000	1.0000

Текст основной программы kurs.M.

% Ввод числа разбиений по X и по Y.

M = input('Введите размерность сетки по X: ');

N = input(' Введите размерность сетки по Y: ');

h1 = 1/M;

h2 = 1/N;

q = h2/h1;

% Ввод погрешности вычислений.

ep = input(' Введите погрешность вычислений (ep): ');

% Начальное заполнение искомой матрицы.

u = ones(M+1, N+1);

x = zeros(M+1,1);

y = zeros(N+1,1);

% Аппроксимация правой части

f = -1.*ones(size(u));

% Аппроксимация граничных условий по X и заполнение служебного

% массива x(i).

for i = 1:(M+1),

u(i,1) = 0;

u(i,N+1) = sin(pi*(i-1)*h1/2);

x(i) = (i-1)*h1;

end

% Аппроксимация граничных условий по Y и заполнение служебного

% массива y(i).

for j = 1:(N+1),

u(1,j) = 0;

u(M+1,j) = (j-1)*h2;

y(j) = (j-1)*h2;

end

k = 0; % Инициализация числа выполненных шагов.

% Ввод параметра сходимости (рекомендуется mu = 1.5485).

mu = input('Введите параметр сходимости mu ( 1<mu<2 ): ');

% Ввод максимального числа шагов.

MAX = input('Введите максимальное число шагов MAX: ');

% Инициализация погрешности вычислений.

A = 100;

% Заблаговременное вычисление коэффициентов для ускорения

% рекуррентной процедуры.

a1 = 1/(2*(1+q^2));

a2 = q^2;

a3 = h2^2*a1;

% Условие продолжения цикла.

while (A > ep)

k = k + 1; % Инкремент числа шагов.

A = 0; % Инициализация погрешности.

for i=2:M,

for j=2:N,

% Рекуррентные формулы.

X = a1*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+a2*u(i-1,j)+a2*u(i+1,j))+a3*f(i,j);

X = mu*X + (1-mu)*u(i,j);

% Вычисление погрешности очередного шага

R = abs(X - u(i,j));

% и выбор наибольшей.

if (R > A) A = R; end

u(i,j) = X;

end

end

% Принудительный выход из цикла по ограничению на число шагов

% с выводом соответствующей диагностики.

if k == MAX

sprintf('%d Слишком большое число шагов !!!', MAX)

break;

end

end

% Вывод результатов вычислений.

sprintf('Качество аппрокксимации %f', A)

if (k ~= MAX)

sprintf('Riched by %d steps', k)

end

mesh(x,y,u);

pause;

contour(x,y,u,50);