Московский Государственный Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа

по курсу «Методы прикладной математики»

Вариант 2.

Выполнил: Бацун А.А.

Группа: МП-31

Руководитель: Хахалин С.Я.

Москва 2000 г.

Классификация задачи и ее физическая интерпретация.

Найти с помощью разностных методов решение дифференциального уравнения в частных производных:

Данное уравнение имеет следующий канонический вид:

следовательно оно относится к уравнениям эллиптического типа.

При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т.е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений, поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. Они формулируются в виде так называемых краевых и начальных условий, которые зависят от типа уравнения.

Исследование стационарных процессов различной физической природы часто приводит к необходимости решать уравнения эллиптического типа. Простейшим и наиболее распространенным уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона:

Однородное уравнение Пуассона (при f(x,y)0) называется уравнением Лапласа. Таким уравнением, например, описываются явления электростатики или магнитостатики. В частности, подобным уравнением описывается потенциалU(x,y) электрического поля, образованного объемным зарядом частиц с плотностьюf(x,y)

Подобной же установке удовлетворяет задача стационарного двумерного распределения температуры в пластине конечной толщины, если внутри пластины распределены по заданному закону источники (стоки) тепла, описываемые функцией f(x,y) , a на границах поддерживается заданная температура.

Данное уравнение можно интерпретировать как описание распределения температуры в пластине конечной толщины, на всех краях которой поддерживается постоянная во времени температура (на двух краях нулевая, на других двух - описываемая законами f(y)=y иf(x)=соответственно).

Применение метода сеток при решении уравнения Пуассона.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения _h. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых мы будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Разностная аппроксимация

Пусть дан линейный дифференциальный оператор L, действующий на функцию. Заменяя входящими вLu производные разностными отношениями, получим вместоL u разностное выражениеL_h u_h, являющееся линейной комбинацией значений сеточной функцииu_h на некотором множестве узлов сетки, называемом сеточным шаблоном. Такая приближенная заменаLuнаL_h u_hназывается аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором (или разностной аппроксимацией оператораL).

Изучение разностных аппроксимаций оператора L вначале проводят локально, т.е. в любой фиксированной точке xобласти_h. Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узломx_i узлов, в которых значения сеточной функции u_h(x_i) =u(x_i) могут быть использованы для аппроксимации оператораL.

Говорят, что L_h аппроксимирует дифференциальный операторL с порядком аппроксимацииm>0 в точкеx, если

(x)=L_h u(x)-Lu(x)=o(h^m).

Аппроксимируем данное уравнение, используя пяти-точечный шаблон "крест".

Аппроксимация дифференциального оператора на этом шаблоне имеет вид: ,

где h₁- шаг сетки по i и h₂ - шаг сетки по j. Погрешность аппроксимации.

Если известна искомая функция U(x,y) в точках :

(i-1,j); (i+1,j); (i,j+1); (i,j-1),

то значение U(x,y) в точке (i,j) может быть приближенно найдено следующим образом:

,

где .

Это уравнение должно выполняться для всех внутренних узлов сетки, т.е. для . Для того, чтобы система стала полностью определенной надо дополнить ее уравнениями, полученными при аппроксимации начальных и граничных условий.

В нашем случае начальные условия аппроксимируются следующим образом:

U_0,j = U_i,0 = 0, дляi=1..M, j=1..N (левая и нижняя границы),

U_M,j=, U_i,N=(правая и верхняя границы соответственно).