Реализация метода сеток на эвм в среде Matlab.

Будем решать данную систему методом верхней релаксации, который является обобщением метода Зайделя. (Метод верхней релаксации вырождается в метод Зайделя при параметре сходимости .)

Применительно к нашей конечно-разностной схеме, метод верхней релаксации записывается в виде:

Данный метод реализован в программе написанной в среде MATLAB

Ниже приведен ее текст :

% Ввод числа разбиений по X и по Y.

M = input('Input the grid size on X: ');

N = input('Input the grid size on Y: ');

h1 = 2/M;

h2 = 1/N;

q = h2/h1;

% Ввод погрешности вычислений.

eps = input('Input the quality (eps): ');

% Начальное заполнение искомой матрицы

u = ones(M+1, N+1);

x = zeros(M+1,1);

y = zeros(N+1,1);

% Аппроксимация правой части

f = -1.*ones(size(u));

for i=1:M,

for j=1:N,

f(i,j)=-1*(2*i/M)*(j/N);

end

end

% Аппроксимация граничных условий по X и заполнение служебного

% массива x(i).

for i = 1:(M+1),

u(i,1) = sqrt(2*(i-1)/M);

u(i,N+1) = 5-(2*(i-1)/M)*(2*(i-1)/M);

x(i) = (i-1)*h1;

end

% Аппроксимация граничных условий по Y и заполнение служебного

% массива y(i).

for j = 1:(N+1),

u(N+1,j) = sqrt(2/(1+(j-1)*h2));

u(1,j) = 5*(j-1)*h2;

y(j) = (j-1)*h2;

end

k=0; % Инициализация числа выполненных шагов.

% Ввод параметра сходимости

mu = 1.5374;

% Ввод максимального числа шагов.

MAX = input('Input the maximum number of steps MAX: ');

% Инициализация погрешности вычислений.

A = 100;

% Заблаговременное вычисление коэффициентов для ускорения

% рекуррентной процедуры.

t = (h1*h1)/(h2*h2);

a1 = t/(2*t+1);

a2 = 1/(4*t + 2);

a3 = (h1*h1)/(8*t + 4);

while (A > eps) % Условие продолжения цикла.

k = k + 1; % Инкремент числа шагов.

A = 0; % Инициализация погрешности.

for i=2:M,

for j=2:N,

% Собственно сами рекуррентные формулы

X = a1*(u(i,j+1)+u(i,j-1))+a2*(u(i+1,j)+u(i-1,j)) + a3*f(i,j);

X = mu*X + (1-mu)*u(i,j);

% Вычисление погрешности очередного шага

R = abs(X - u(i,j));

% и выбор наибольшей

if (R > A) A = R; end

u(i,j) = X;

end

end

% Принудительный выход из цикла по ограничению на число шагов

% с выводом соответствующей диагностики.

if k == MAX

sprintf('%d Steps was made !!!', MAX)

break;

end

end

% Вывод результатов вычислений.

sprintf('Quality of approximation is %f', A)

if (k ~= MAX)

sprintf('Riched by %d steps', k)

end

mesh(x,y,u);

pause;

contour(x,y,u,50);

Итерационный процесс сходится для всех , удовлетворяющих неравенству. Вопрос о выборе оптимального значенияиз данного промежутка которое обеспечивало бы максимальную скорость сходимости метода верхней релаксации очень сложен в теоретическом отношении. Но применительно к конкретной задаче оптимальноезначение параметра сходимости можно определить из машинного эксперимента. Программа ,написаная в среде Matlab для изучения скорости сходимости в зависимости от параметра сходимости. За основу алгоритма было взято решение данного уравнения на сетке фиксированного размера за фиксированное число шагов. Была получена зависимость погрешности (которую можно связать с величиной, обратной скорости сходимости) от параметра сходимости . Графики этой функции на интервале представлен на рисунке.

.

Далее текст программы для вычисления оптимального коэффициента:

M=10;

N=10;

a=2; b=1;

h1=a/M; h2=b/N;

q=h2/h1;

u=ones(M+1,N+1);

x=ones(M+1,1);

y=ones(N+1,1);

f=ones(size(u));

for i = 1:(M+1)

u(i,1) = sqrt(2*(i-1)/M);

u(i,N+1) = 5-(2*(i-1)/M)*(2*(i-1)/M);

x(i) = (i-1)*h1;

end;

for j = 1:(N+1)

u(N+1,j) = sqrt(2/(1+(j-1)*h2));

u(1,j) = 5*(j-1)*h2;

y(j) = (j-1)*h2;

end;

for i=2:M

for j=2:N

u(i,j)=1;

end;

end;

for i=1:M+1

for j=1:N+1

f(i,j)=-1*(2*i/M)*(j/N);

end;

end;

MAX=10;

A=100;

t = (h1*h1)/(h2*h2);

a1 = t/(2*t+1);

a2 = 1/(4*t + 2);

a3 = (h1*h1)/(8*t + 4);

mu=1.5374:0.000001:1.5376;

for c=1:length(mu)

for i=2:M

for j=2:N

u(i,j)=1;

end;

end;

for i=1:M+1

for j=1:N+1

f(i,j)=-1*(2*i/M)*(j/N);

end;

end;

for k=1:MAX

A=0;

for i=2:M

for j=2:N

X = a1*(u(i,j+1)+u(i,j-1))+a2*(u(i+1,j)+u(i-1,j)) + a3*f(i,j);

X = mu(c)*X + (1-mu(c))*u(i,j);

R = abs(X - u(i,j));

if (R > A) A = R; end

u(i,j) = X;

end

end

end

eps(c)=A;

end;

plot(mu,eps,'.');

В результате работы программы было выявлено оптимальное значение .Это значение мю использовалось при построении искомой поверхности,апроксимированой

Для доказательства сходимости полученной конечно-разностной схемы были проверены условия теоремы, приведенной в использованной литературе, для матрицы А данной задачи. Теорема утверждает, что если А – самосопряженный и положительно определённый оператор в пространстве сеточных функций и оператор(т.е. положительно определен в), тогда стационарный двухслойный итерационный процесссходится в нормек точномурешению u системы . ГдеB=D+L, D - диагональ матрицы А, L - элементы матрицы А, расположенные ниже главной диагонали. Для метода Зайделя . Текст программы , реализующей эту роверку приведен ниже. В случае невыполнении одного из условий теоремы, программа выдаёт соответствующее сообщение об ошибке, иначе - сообщение о положительном результате проверки.

M=input('Input M: ');

N=input('Input N: ');

q=(M/N)^2;

a=2*(1+q);

%Создание матрицы А

A=zeros(N*N,N*N);

for i=1:N,

A(N*(i-1) + 1,N*(i-1) + 1)=a;

A(N*(i-1) + 1,N*(i-1) + 2)=-q;

if (i~=N) A(N*(i-1) + 1,N*i + 1)=-1; end

if (i~=1) A(N*(i-1) + 1,N*(i-1) + 1 - N)=-1; end

for j=2:N-1,

A(N*(i-1) + j,N*(i-1) + j)=a;

A(N*(i-1) + j,N*(i-1) + j-1)=-q;

A(N*(i-1) + j,N*(i-1) + j+1)=-q;

if (i~=N) A(N*(i-1) + j,N*i + j)=-1; end

if (i~=1) A(N*(i-1) + j,N*(i-1) + j - N)=-1; end

end

A(N*i,N*i)=a;

if (i~=1) A(N*i,N*i-N)=-1; end

if (i~=N) A(N*i,N*i+N)=-1; end

A(N*i,N*i-1)=-q;

end

%Создание матрицы B

B=A;

for i=1:N^2,

for j=i+1:N^2,

B(i,j) = 0;

end

end

%Приоверка положительной определённости оператора B-tA/2

C=B-0.5*A;

for i=1:N^2,

B=C(1:i, 1:i);

if det(B)<=0

disp('ERROR: Matrix B-1/2*A is not positive definded!');

break;

end

end

disp('If no ERROR occurs then system is good!');

Было получено несколько результирующих матриц u1, u2, u3, u4, которые здесь не были зафиксированы.Данные матрицы вычислялись для разных значений параметра eps.

u1 при eps = 0.001;

u2 при eps = 0.0001;

u3 при eps = 0.00001;

u4 при eps = 0.000001;

Далее были вычесленны нормы попарных разностей этих матриц. Полученные результаты представлены ниже.

NORM(u1-u2) = 0.0035

NORM(u2-u3)

NORM(u3-u4)

Результат вычислений при N=M=10

i \ j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0.5000	1.0000	1.5000	2.0000	2.5000	3.0000	3.5000	4.0000	4.5000	5.0000
1	0.4472	0.8436	1.2617	1.6947	2.1386	2.5909	3.0505	3.5168	3.9899	4.4705	4.9600
2	0.6325	1.0159	1.4068	1.8059	2.2133	2.6288	3.0527	3.4852	3.9268	4.3781	4.8400
3	0.7746	1.1303	1.4904	1.8560	2.2280	2.6074	2.9947	3.3908	3.7965	4.2126	4.6400
4	0.8944	1.2129	1.5346	1.8609	2.1927	2.5313	2.8776	3.2326	3.5973	3.9728	4.3600
5	1.0000	1.2730	1.5489	1.8288	2.1139	2.4055	2.7046	3.0125	3.3303	3.6591	4.0000
6	1.0954	1.3154	1.5379	1.7643	1.9957	2.2334	2.4786	2.7327	2.9967	3.2721	3.5600
7	1.1832	1.3428	1.5048	1.6704	1.8410	2.0178	2.2020	2.3949	2.5980	2.8125	3.0400
8	1.2649	1.3572	1.4518	1.5500	1.6529	1.7618	1.8777	2.0020	2.1361	2.2815	2.4400
9	1.3416	1.3599	1.3810	1.4059	1.4356	1.4706	1.5117	1.5598	1.6160	1.6820	1.7600
10	1.4142	1.3484	1.2910	1.2403	1.1952	1.1547	1.1180	1.0847	1.0541	1.0260	1.0000