2. Решение сеточного уравнения.

2.1. Явная разностная схема.

В явной разностной схеме значение сеточной на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующему шаблону:

Тогда конечно-разностная схема для данной задачи имеет вид:

Значение температуры на слое явно выражается через значение температуры наслое по формуле:

Порядок аппроксимации данной разностной схемы равен . Для получения , разложим в окрестности точкипо формуле Тейлора :

Используя граничное условие второго рода , получим

Откуда получаем :

Практическая реализация данного метода возможна лишь при таких соотношениях между шагами сетки и, при которых выполняется условие устойчивости решения к ошибкам округления и неточностям в начальных данных. Это условие имеет вид. Текст функции, вычисляющей матрицу решения размерностью, приведён в приложении3.

2.2 Неявная разностная схема.

Для аппроксимации используем следующий шаблон :

Уравнение аппроксимируется разностной системой :

Запишем равенства :

в виде, удобном для метода прогонки.

Получим систему:

Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи. Текст функции, вычисляющий матрицу решения размерностью , приведён в Приложении3.

Результаты, полученные при решении основной задачи обоими схемами, находятся в Приложении 1.

Для проверки правильности алгоритма была рассмотрена следующая модельная задача:

решением которой является функция . Результат при использовании явной схемы приведён в Приложении 2.

Приложение1.

Таблицы результатов (для M=100 и N=20000):

Для явной схемы:

Columns1through7

1.0000 1.7986 2.5215 3.1319 3.6518 4.1062 4.5156

1.0000 1.7973 2.5144 3.1195 3.6354 4.0870 4.4944

1.0000 1.7925 2.4915 3.0801 3.5837 4.0262 4.4273

1.0000 1.7817 2.4491 3.0100 3.4921 3.9189 4.3086

1.0000 1.7614 2.3827 2.9038 3.3554 3.7591 4.1316

1.0000 1.7263 2.2859 2.7557 3.1672 3.5400 3.8889

1.0000 1.6694 2.1514 2.5581 2.9201 3.2541 3.5723

1.0000 1.5815 1.9702 2.3028 2.6058 2.8924 3.1724

1.0000 1.4514 1.7323 1.9803 2.2149 2.4454 2.6784

1.0000 1.2658 1.4264 1.5799 1.7368 1.9020 2.0788

1.0000 1.0100 1.0400 1.0900 1.1600 1.2500 1.3600

Columns 8 through 11

4.8961 5.2605 5.6189 5.9793

4.8737 5.2374 5.5956 5.9561

4.8024 5.1636 5.5205 5.8809

4.6756 5.0315 5.3853 5.7442

4.4861 4.8330 5.1808 5.5359

4.2255 4.5589 4.8965 5.2441

3.8847 4.1988 4.5208 4.8557

3.4532 3.7409 4.0404 4.3557

2.9193 3.1722 3.4404 3.7267

2.2699 2.4775 2.7034 2.9491

1.4900 1.6400 1.8100 2.0000

Для неявной схемы:

Columns 1 through 7

1.0000 1.7985 2.5214 3.1317 3.6516 4.1060 4.5154

1.0000 1.7972 2.5143 3.1193 3.6352 4.0868 4.4943

1.0000 1.7924 2.4913 3.0800 3.5835 4.0261 4.4272

1.0000 1.7816 2.4490 3.0098 3.4920 3.9187 4.3084

1.0000 1.7613 2.3825 2.9037 3.3553 3.7589 4.1314

1.0000 1.7262 2.2858 2.7555 3.1671 3.5399 3.8888

1.0000 1.6693 2.1513 2.5580 2.9200 3.2539 3.5722

1.0000 1.5814 1.9701 2.3028 2.6057 2.8923 3.1723

1.0000 1.4513 1.7323 1.9802 2.2148 2.4453 2.6784

1.0000 1.2658 1.4264 1.5798 1.7368 1.9019 2.0787

1.0000 1.0100 1.0400 1.0900 1.1600 1.2500 1.3600

Columns 8 through 11

4.8960 5.2604 5.6187 5.9792

4.8735 5.2373 5.5954 5.9560

4.8022 5.1634 5.5204 5.8807

4.6755 5.0314 5.3852 5.7441

4.4859 4.8329 5.1806 5.5358

4.2254 4.5588 4.8964 5.2440

3.8845 4.1986 4.5207 4.8556

3.4531 3.7408 4.0403 4.3556

2.9192 3.1721 3.4403 3.7266

2.2699 2.4775 2.7034 2.9491

1.4900 1.6400 1.8100 2.0000

Таблица разностей (явная - неявная):

1.0e-003 *

Columns 1 through 7

0 0.0549 0.1400 0.1752 0.1863 0.1848 0.1764

0 0.0582 0.1398 0.1739 0.1847 0.1833 0.1751

0 0.0672 0.1386 0.1697 0.1800 0.1787 0.1709

0 0.0796 0.1357 0.1623 0.1717 0.1706 0.1636

0 0.0920 0.1301 0.1513 0.1596 0.1589 0.1528

0 0.1004 0.1207 0.1365 0.1435 0.1432 0.1383

0 0.1012 0.1067 0.1176 0.1234 0.1235 0.1198

0 0.0916 0.0876 0.0946 0.0992 0.0996 0.0972

0 0.0705 0.0633 0.0674 0.0706 0.0712 0.0699

0 0.0390 0.0339 0.0358 0.0376 0.0381 0.0377

0 0 0 0 0 0 0

Columns 8 through 11

0.1645 0.1512 0.1379 0.1255

0.1633 0.1503 0.1372 0.1251

0.1598 0.1474 0.1350 0.1235

0.1534 0.1421 0.1308 0.1203

0.1439 0.1340 0.1242 0.1151

0.1310 0.1227 0.1146 0.1073

0.1142 0.1079 0.1017 0.0962

0.0933 0.0889 0.0847 0.0810

0.0677 0.0652 0.0628 0.0608

0.0369 0.0359 0.0350 0.0344

0 0 0 0

Для явной схемы

Для неявной схемы