ЧМ (МП-3) / Курсовые / mpm_12a / kursa

Московский Государственный Институт Электронной Техники

( Технический Университет )

Курсовая работа по теме :

Численные методы решения разностных уравнений математической физики

Вариант №12.

Выполнил: Красов А.А.

Группа: МП-32

Руководитель: Немировская О.Э.

МОСКВА 2000 г.

Постановка задачи.

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической

физики методом сеток.

Данное уравнение является уравнением гиперболического типа и физически отражает процесс колебания струны. Искомое решение U(x,y) - вертикальное отклонение струны в точке x в момент времени t. Данная краевая задача состоит в нахождении функции U(x,y), удовлетворяющей уравнению, а также заданным начальным и граничным условиям.

Физический смысл условий:

Начальное условие описывает форму струны в начальный момент времени. Условие - распределение скоростей всех точек струны в начальный момент времени; - описывает закон движения левого конца струны; наконец, - условие «свободного» правого конца.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ

В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. В данной задаче аппроксимацию дифференциальных операторов проведём по следующим шаблонам

2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Для сведения задачи к явной разностной схеме используем шаблон " крест".

Получаем конечно-разностную систему :

Обозначим и выразим через остальные значения сеточной функции,

входящие в уравнение:

(1)

i = 1,.....,m-1;

j = 1,.....,n-1.

Уравнение (1) должно выполняться для всех внутренних узлов сетки . Для того чтобы система стала полностью определенной , необходимо дополнить ее уравнениями получаемыми из аппроксимации краевых и начальных условий.

2.2 Аппроксимация 1-го начального условия.

(2)

2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.

Аппроксимация краевого условия второго рода используется только для нахождения решения на границе i=0 в явном виде:

(3)

2.4 Аппроксимация 2-го начального условия.

Для более точного аппроксимирования 2-го начального условия разложим в окрестности точки по формуле Тейлора и используя начальные условия перейдем к конечным разностям:

(4)

Формула (4) используется на начальном этапе для вычисления значения функции U на первом слое, по известным значениям функции на нулевом слое и на границе .

5. Аппроксимация 2-го граничного условия.

Для более точного аппроксимирования 2-го граничного условия разложим в окрестности точки (1,y ) по формуле Тейлора:

Используя уравнение краевой задачи и второе граничное условие получаем:

Перейдя к конечным разностям, записываемыми в узле , получаем:

(5)

Выражая из него получаем:

(6)

Найдем необходимую точку. Из (4) , при

Откуда -

(7)

Из (5) , при :

Откуда -

(8)

Из (1) , при

(9)

Итак при и определены. Включается рекуррентная процедура.

Порядок аппроксимации данной разностной схемы .

Устойчивость решения.

Для уравнений гиперболического типа метод спектральных гармоник

приводит к следующему условию устойчивости:

(7),

т.е. если это условие устойчивости не будет выполнено, то в процессе рекуррентного решения возможно накапливание ошибок от слоя к слою.

Отсюда, в частности, получаем для явной схемы () условие устойчивости Куранта-Леви: .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ НЕЯВНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ.

Рассмотрим снова краевую задачу . Для аппроксимации уравнения используем Т-образный пятиточечный шаблон . Уравнение аппроксимируется следующими уравнениями :

3.1 Аппроксимация дифференциального уравнения

Обозначим и запишем (1) к виду удобному для применения метода прогонки:

3.2 Аппроксимация 1-го начального условия

(3)

3.3 Аппроксимация 1-го граничного условия

(4)

3.4 Аппроксимация 2-го начального условия

Для более точного аппроксимирования 2-го начального условия разложим в окрестности точки по формуле Тейлора и используя 1-ое и 2-ое начальное условия перейдем к конечным разностям:

(5)

Эта формула отличается от аналогичной для явной схемы тем, что аппроксимация разностной производной второго порядка по производится на первом слое, а не на нулевом. Запишем (5) к виду удобному для применения метода прогонки:

(6)

5. Аппроксимация 2-го граничного условия.

(7)

3.6 Вычисления прогоночных коэффициентов

Сначала найдем на слое . Определим прогоночные коэффициенты.

Учитывая 1-ое граничное условие и уравнение (6) получаем:

a_i = b_i =

C_i = 1 +

f_i =

b₀ = 0, C₀ = 1, f₀ =

Теперь вычислим граничные прогоночные коэффициенты

a_M =0, C_M = 1, f_M = .

Методом прогонки находим где ;

Теперь зная значения находим где

Используя уравнение (2) находим прогоночные коэффициенты:

a_i = b_i =

C_i = 1 +

f_i = 2U_i,j - U_i,j-1 + 8(τ^3)j

b₀ = 0, C₀ = 1, f₀ = .

Теперь вычислим граничные прогоночные коэффициенты

a_M =0, C_M = 1,

f_M =.

Методом прогонки находим где.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Результаты решения явной схемой

2. Результаты решения неявной схемой

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ :

1. В.Г. Долголаптев, В.Н. Земсков. «Численные методы решения разностных уравнений математической физики. Методические указания к курсовой работе по высшей математике», МИЭТ 1987.

2. В.Н. Земсков, С.Я. Хахалин. «Метод сеток. Методические указания к выоплнению курсовой работы на персональном компьютере», МИЭТ 1998.

3. Конспект лекций по дисциплине «Численные методы». В.Н. Земсков.

4. А.А. Самарский. «Теория разностных схем», М.: Наука, 1977.