Московский Государственный Институт Электронной Техники

(технический университет)

на тему:

«Приближенное решение краевых задач

математической физики методом сеток»

Выполнил: Ефремов М.В.

МП-34

Проверил: Умняшкин С.В.

Москва 2001 г.

Классификация краевой задачи.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка такого вида относится к уравнениям гиперболического типа. Данное уравнение описывает колебание струны в зависимости от времени. Здесь переменная у имеет физический смысл времени, поэтому в дальнейшем будет рассматриваться такая задача:

Неявная разностная схема

Для аппроксимации используем Т образный пяти-точечный шаблон:

Уравнение аппроксимируется следующей системой разностных уравнений с погрешностью аппроксимации :

А

(1)

ппроксимация волнового уравнения

О бозначим и запишем (1) следующим образом:

(2)

Аппроксимация первого начального условия

Аппроксимация второго начального условия

(3)

Обозначим и запишем (3) следующим образом:

(4)

Аппроксимация первого граничного условия

для j=1:

д

(5)

ля моего случая т.е.

д

(6)

ля j>=2

Вычисление прогоночных коэффициентов.

Прогонка осуществляется послойно, т. е. при каждом фиксированном j, начиная с j=1(при j=0 “работают” начальные условия).

Запишем системы, необходимые для решения задачи методом прогонки, с использованием аппроксимированных начальных и краевых условий.

При j=1 имеем следующую систему:

(5)

(4)

Для j>=2

(6)

(2) j=j-1

При прогонке различают прямой и обратный ход:

при прямом ходе определяются коэффициенты и на j-ом слое:

при обратном ходе вычисляются значения функции :

Используя метод прогонки, получаем решение неявной разностной схемы для данной задачи.

% Формат ввода: friday13(M,N)

function friday13(M,N);

h=1/M; % Шаг по X

t=1/N; % Шаг по T

g=t/h; %

U=zeros(M+1,N+1);

%U(i,0)=0

for i=0:M

U(i+1,0+1)=0;

end;

%U(M,j)=-4y^2

for j=0:N

U(M+1,j+1)=-4*t*j*t*j;

end;

%--------первый слой------------------вычисляем прогоночные коэффициенты

c0=1+g*g; b0=g*g;

ai=g*g/2; ci=1+g*g;

bi=ai;

f0=4*t;

alf=zeros(M+1); bet=zeros(M+1);

alf(1)=b0/c0;

bet(1)=f0/c0;

for i=1:M

fi=4*t*cos(pi*h*i/2)-4*(t*i*h)^2;

alf(i+1)=bi/(ci-ai*alf(i));

bet(i+1)=(fi+ai*bet(i))/(ci-ai*alf(i));

end

%-------теперь значения функции----------

for i=M:-1:1

U(i+1-1,1+1)=alf(i)*U(i+1,1+1)+bet(i);

end;

%------прогоночные коэффициенты для j>=2--

c0=1+2*g*g; b0=2*g*g;

ai=g*g; ci=c0; bi=ai;

for j=2:N

fo=2*U(0+1,j-1+1)-U(0+1,j-2+1)+8*t*t*(t*(j-1))^2;

alf(1)=b0/c0;

bet(1)=f0/c0;

for i=1:M

fi=2*U(i+1,j-1+1)-U(i+1,j-2+1)-8*t*t*(((j-1)*t)^2-(i*h)^2);

alf(i+1)=bi/(ci-ai*alf(i));

bet(i+1)=(fi+ai*bet(i))/(ci-ai*alf(i));

end

for i=M:-1:1

U(i+1-1,j+1)=alf(i)*U(i+1,j+1)+bet(i);

end;

end

colormap(prism)

mesh(U)

grid

xlabel('Ось T')

ylabel('Ось X')

for t=1:36:360

view(t,30);

pause;

end

close

U

Список литературы

1. Долголаптев В.Г., Земсков В.Н. Численные методы решения разностных уравнений математической физики. Методические указания к курсовой работе по высшей математике. /Под ред. А.В. Ефимова. – М.: Изд. МИЭТа, 1987. – 66 с.

2. Земсков В.Н., Хахалин С.Я. Метод сеток. Методические указания к выполнению курсовой работы на персональном компьютере. – М.: МИЭТ, 1998. – 64 с.: ил.