Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Численные методы

Файл:

gauss&zeidel

.doc

Скачиваний:

102

Добавлен:

17.04.2013

Размер:

367.1 Кб

Скачать

☆

Лабораторная работа N3

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Краткие теоретические сведения.

Существует множество методов решения С. Л. А. У. . В данной работе рассматриваются два из них. Это метод Гаусса и метод Зейделя. Ниже приведены их краткие описания.

Метод Гаусса.

Рассматривается система уравнений

(1).

Введя матричные обозначения, получим

Если число неизвестных менее 200, то для решения СЛАУ используют метод Гаусса, иначе называемый методом последовательного исключения неизвестных. Суть его заключается в приведении матрицы коэффициентов к треугольному виду. Вычисление состоит из двух этапов – прямого хода и обратного хода (обратной подстановки). Прямой ход выражается в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисление значений неизвестных производят на этапе обратного хода.

Прямой ход состоит из -го шага.

1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами . Предположим, что коэффициент (это ведущий элемент 1-го шага), вычислим величины . Вычтем последовательно из второго, третьего, ..., -го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на ,,...,. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при во всех уравнениях, кроме первого. В результате получим эквивалентную систему

(2)

где и () находятся по формулам , .

Фактически проведенные вычисления означают умножение матрицы на некоторую матрицу следующего вида:

Таким образом, исходное уравнение можно записать при помощи матрицы и векторов в виде .

2-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами . Предположим, что коэффициент (это ведущий элемент 2-го шага), вычислим величины . Вычтем последовательно из третьего, четвертого, ..., -го уравнений системы (2) второе уравнение, умноженное соответственно на ,,...,. В результате получим эквивалентную систему

где и () находятся по формулам , .

Аналогично 1-му шагу получается уравнение вида , где , а . Матрица преобразования имеет вид

k-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного из уравнений с номерами . Если ведущий элемент -го шага отличен от нуля (), то . Вычтем из -го, ..., -го уравнений полученное на предыдущем шаге системы -е уравнение, умноженное соответственно на ,,...,. Получим уравнение относительно матрицы и вектора .

Окончательно после -го шага исключения получим систему уравнений

(3)

Матрица системы уравнений (3) является верхней треугольной и обозначается . Вычисления прямого хода заканчиваются. В результате имеем или , где матрица является нижней треугольной и имеет вид

Таким образом, получено -разложение матрицы. Исходное уравнение (1) можно представить как матричное уравнение или в виде системы

Данная система решается просто, так как и – треугольные матрицы.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы (3) находим . Подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение (3), получаем . Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим ,,...,. Вычисления неизвестных здесь производятся по формулам

(4)

при .

Число арифметических операций, необходимых для реализации данного метода, составляет приблизительно . При этом необходимо все время отслеживать неравенство нулю коэффициентов . Более того, даже если все ведущие элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, то в этом случае возможен неконтролируемый рост погрешности. Избежать этого недостатка метода можно используя масштабирование, т.е. подбор множителей, которые приведут систему уравнений к эквивалентной, но с коэффициентами близкими к единице. Другой способ избежать указанного недостатка состоит в перенумерации на каждом шаге неизвестных так, чтобы ведущий элемент был максимальным по модулю среди оставшихся непреобразованных уравнений.

Вариант N7.

Текст программы.

A=[64, 21, 28, 31, 27; 14, 176, 25, 18, 13;

15, 15, 113, 29, 29; 22, 17, 5, 256, 28; 13, 14, 11, 26, 24]

b=[16; 22; 20; 4; 0]

n=5

L=eye(n)

C=A;

C(:,n+1)=b

% Pryamoy hod

for j=1:(n-1)

for i=(j+1):n

k=C(i,j)/C(j,j)

C(i,:)=C(i,:)-k*C(j,:)

L(i,j)=k

end

% Obratniy hod

x=zeros(n,1)

x(n)=C(n,(n+1))/C(n,n)

for i=1:(n-1)

v=C(n-i,:); v(n+1)=[]

s=v*x

x(n-i)=(C(n-i, n+1)-s)/C(n-i, n-i)

end

clc

e=A*x-b

После выполнения программы получим:

C =

64.0000 21.0000 28.0000 31.0000 27.0000 16.0000

0 171.4063 18.8750 11.2188 7.0938 18.5000

0 0 105.3277 21.0747 22.2548 15.1623

0 0 0 245.8445 19.5187 -1.7349

0 0 0 0 15.7704 -4.7825

L =

1.0000 0 0 0 0

0.2188 1.0000 0 0 0

0.2344 0.0588 1.0000 0 0

0.3438 0.0571 -0.0541 1.0000 0

0.2031 0.0568 0.0403 0.0741 1.0000

x =

0.2484

0.0968

0.2046

0.0170

-0.3033

e =

1.0e-014 *

0.1776

Таким образом получено решение заданной С.Л.А.У. методом Гаусса.

Метод Зейделя.

В СЛАУ (1) представим матрицу A в виде A=S-T, где Матрицы и определяются следующим образом:

, ,

Тогда система приобретает вид (S-T)*x=B или S*x=T*x+B (5).

Рассмотрим последовательность векторов , удовлетворяющую условию

, (6)

где (), и вектор , где – решение заданной системы.

Вычтя из равенства (5) равенство (6), получим , т.е. . Поэтому , …, и, если множество стремится к нулю, то итерационный процесс (6) сходится и пределом последовательности является вектор – решение данной системы.