ЧМ (ЭКТ-3) / Лабы / Всякие сделанные варианты / еще / Лаба 7 (ДЗ) / lab07(var7) / Lab07

Лабораторная работа №7

(Домашнее задание)

Решение дифференциального уравнения эллиптического типа.

Найти с помощью разностных методов решение дифференциального уравнения в частных производных:

, .

Графически отобразить полученное решение .

7.

Данное уравнение относится к уравнениям эллиптического типа.

Исследование стационарных процессов различной физической природы часто приводит к необходимости решать уравнения эллиптического типа. Простейшим и наиболее распространенным уравнением эллиптического типа является уравнение Пуассона:

Однородное уравнение Пуассона (при f(x,y)=0) называется уравнением Лапласа. Таким уравнением описываются явления электростатики и магнитостатики. В частности, подобным уравнением описывается потенциал U(x,y) электрического поля, образованного объемным зарядом частиц плотностью f(x,y).

Подобной же установке удовлетворяет задача стационарного двумерного распределения температуры в пластине конечной толщины, если внутри пластины распределены по заданному закону источники (стоки) тепла, описываемые функцией f(x,y) , a на границах поддерживается заданная температура.

Данное уравнение можно интерпретировать как описание распределения температуры в пластине конечной толщины, на всех краях которой поддерживается постоянная во времени температура.

Применение метода сеток при решении уравнения Пуассона.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению системы алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых мы будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки - узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Аппроксимируем данное уравнение, используя пятиточечный шаблон "крест:

( i, j+1)

|

(i-1,j)--- (i,j) ---(i+1,j)

|

(i,j-1)

Если известна искомая функция U(x,y) в точках :

(i-1,j) ; (i+1,j) ; (i,j+1) ; (i,j-1),то значение U(x,y) в точке (i,j) может быть приближенно найдено следующим образом:

где

Для случая квадратного разбиения. Это уравнение должно выполняться для всех внутренних узлов сетки. Для того, чтобы система стала полностью определенной надо дополнить ее уравнениями, полученными при аппроксимации начальных и граничных условий.

Текст программы:

clear;

clc;

%---------- Входные данные

V1=0;

V2=10;

a=2;

b=1;

%---------- Сетка

h=0.01;

x=0:h:1;

y=0:h:1;

%---------- Задание f(i,j)

for i=1:101

for j=1:101

f(i,j)=10*exp(-1*((x(i)-0.75).^2+(y(j)-0.75).^2)/0.01);

end;

end;

%----------- Решение при помощи шаблона типа креста

u=zeros(101,101);

u(1,:)=V2;

u(:,1)=V2;

for i=1:51

u(101,i)=V2;

end;

for k=1:100000

for i=2:100

for j=2:100

u(i,j)=(a*(u(i+1,j)+u(i-1,j))+b*(u(i,j+1)+u(i,j-1))-h*h*f(i,j))/(2*(a+b));

end;

end;

end;

mesh(x,y,u');

Результат выполнения программы:

3