5.2. Правило трапеций

Рассмотрим задачу вычисления определенного интеграла:

, (5.1)

где a‚b - конечны; - непрерывная функция на отрезке интегрирования.

Общий подход к решению задачи заключается в разбиении отрезка на множество отрезков меньших размеров и вычислении интеграла как суммы, приближенно вычисленных площадей полосок, получившихся при таком разбиении (см. рис. 5.1).

Разобьем отрезок наn равных частей точками , каждая длиной. Рассмотрим один из интервалов, представленный на рис. 5.2. Площадь, лежащую под кривоймежду точкамии, будем приближённо вычислять как площадь трапеции ABCD, так что:

. (5.2)

Тогда величину определённого интеграла можно оценить:

(5.3)

Эта формула описывает хорошо известное правило трапеций для численного интегрирования. Это один из простейших методов численного интегрирования.

Ошибка ограничения для метода трапеций.

Предположим, что - непрерывная вместе со своими первой и второй производными нафункция. Остаточный член наi- м участке равен:

или

(5.4)

Дифференцируя формулу (5.4.) по h последовательно два раза, получим

(5.5)

(5.6)

причём очевидно, что .

Формулу (5.6) проинтегрируем по h и, используя теорему о среднем, получим:

, (5.7)

где .

Аналогично:

,

(5.8)

где .

Таким образом, окончательно имеем:

(5.9)

где .

Тогда остаточный член на всём отрезке можно вычислить по формуле:

, (5.10)

где .

Ошибка округления правила трапеций

Для вычисления ошибки округления составим граф вычислительного процесса правила трапеций (см. рис.5.3.). Предполагается, что все члены суммы, которые необходимо умножить на 2, сначала складываются, а их сумма умножается на 2.

Пусть относительные ошибки каждой величины. Пустьотносительная ошибка операции сложения,- относительная ошибка операции умножения. Тогда относительная ошибка округления для формулы вычисления интеграла по правилу трапеций (5.3) в соответствии с графом вычислительного процесса можно вычислить:

Абсолютная ошибка равна:

=[Положим]=

Положим , где -коэффициент пропорциональности;

среднее из всех . Тогда

(5.11)

Учитывая, что , имеем.

Тогда

(5.12)

При малом h (большом n ) главная часть ошибки округления в формуле (5.12) заключена в члене n², поэтому можно дать следующую верхнюю оценку e_I:

(5.13)

Полученный результат показывает, что ошибка ограничения с уменьшением h не уменьшается, как это имеет место для ошибки ограничения, а увеличивается. Следовательно, влияние ошибок округления и ограничения в методах численного интегрирования имеет противоположную направленность. Из чего можно заключить, что существует некоторая величина шага интегрирования h_opt (n_opt), при которой суммарная ошибка вычисления интеграла наименьшая. На рисунке 5.4. представлены графики ошибок ограничения и округления, а также суммарная ошибка вычисления интеграла.