3.3. Метод Ньютона-Рафсона

Метод простой итерации медленно сходится к решению . Скорость сходимости можно существенно увеличить, если «движение» к новому приближению корня (рис.3.1а) делать не параллельно оси 0x до пересечения с прямой, а по касательной к графику кривой.

Пусть итерационный процесс достиг точки . Составим уравнение касательной к графику функциив точке:

.

Найдем точку пересечения касательной с прямой :

.

Построим итерационный процесс по формуле:

. (3.5)

y = x

Это и есть знаменитый метод Ньютона-Рафсона. Для уравнения (3.1) итерационную формулу после несложных преобразований можно представить в виде:

. (3.6)

Сходимость метода Ньютона-Рафсона

Введем в обращение функцию , тогда с помощью функцииитерационная формула (3.5) преобразуется к виду:

(3.7)

итерационный метод (3.7) сходится, если

или

(3.8)

Несложный анализ выражения (3.8) показывает, что метод Ньютона-Рафсона сходится, если:

1) выбрано достаточно близко к.

2) производная не становится слишком большой.

3) производная не слишком близка к единице.

3.5. Вычисление корней многочленов

Рассмотрим важный практический случай, когда представляет собой многочлен степениm:

(3.9)

применим метод Ньютона-Рафсона согласно формуле . Из многочленавыделим линейный множитель:

(3.10)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в выражениях (3.9) и (3.10) нетрудно получить рекуррентные формулы для вычисления

(3.11)

Из (3.10) находим, что:

Положим

, тогда

, откуда

, следовательно

В многочлене степениm-1 выделим линейный множитель :

(3.12)

Сравнивая коэффициенты в многочлене и выражении (3.12), имеем следующие рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов:

(3.13)

и соответственно

Подставляя найденные значения ив формулу метода Ньютона-Рафсона, получаем:

(3.14)

где ивычисляются по формулам (3.11) и (3.13).

Следует отметить, что в формуле (3.14) коэффициенты инеобходимо перевычислять на каждом шаге итерационного процесса.

4.3. Метод Зейделя

Метод Зейделя рассмотрим на примере решения системы линейных уравнений вида:

. (4.23)

В рассмотренном выше методе простой итерации элементы вектора вычисляются по формуле:

.

В методе Зейделя поэлементное нахождение производится с учетом уже вычисленных значений

Запишем первое уравнение системы (4.23) в виде:

Из этого уравнения определим . Положим=и подставим это значение во второе уравнение системы:

Действуя таким же способом по отношению к другим уравнениям в результате для каждой -ой переменной будем иметь линейное уравнение с одной неизвестной вида:

Чтобы записать итерационную формулу метода Зейделя, представим матрицу в виде=++, где- диагональная матрица,- строго нижнетреугольная,- строго верхнетреугольная матрица (т.е. все диагональные элементыиравны нулю).

Тогда рассмотренную выше последовательность вычислений можно записать в виде:

(4.24)

Из (4.24) несложно получить итерационную формулу метода Зейделя в виде:

(4.25)

Сходимость метода Зейделя

Для метода Зейделя итерационная матрица имеет следующий вид

Тогда условия глобальной сходимости метода Зейделя определяются неравенством . Можно показать, что это условие выполняется, если матрица обладает свойством диагонального преобладания:

(4.26)

для всех . В этом случае говорят, что матрицаявляется матрицей с диагональным преобладанием. Условие (4.26) является достаточным условием сходимости метода Зейделя.

Метод Зейделя, как и метод простой итерации, имеет линейную скорость сходимости, но большую, чем у метода простой итерации. Ускорить сходимость метода Зейделя можно, введя в итерационную матрицу параметр релаксации .

(4.27)

При =1 релаксационный метод (4.27) совпадает с методом Зейделя, при  >1 итерационный процесс схождения к решению значительно ускоряется. При правильном выборе можно получить 20-ти кратную экономию машинного времени.

В процессе вывода итерационной формулы метода Зейделя рассматривался частный случай системы линейных уравнений, при этом матрица представлялась суммой матриц,,. В общем случае (решения системы нелинейных уравнений) в формуле (4.25) вместо матрицырассматривается разложение матрицы Якоби в соответствующей точке итерационного процесса по формуле:

Я=++