ответы по математике ( с изменениями) / Векторы (1-7) / 4 вопрос

Вопрос №4 Линейно независимые векторы. Базис. Разложение вектора по базису.

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой.

Размерностью векторного пространства называется число, равное максимальному количеству линейно независимых векторов в этом пространстве.

Определение.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Линейной комбинацией векторов a₁, ..., a_n с коэффициентами x₁, ..., x_n называется вектор

x₁a₁+ ... + x_na_n.

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁, ..., a_n, необходимо найти коэффициенты

x₁, ..., x_n, при которых линейная комбинация векторов a₁, ..., a_n равна вектору b

,x₁a₁+ ... + x_na_n= b,

при этом коэффициенты x₁, ..., x_n, называются координатами вектора b в базисе a₁, ..., a_n.

Пример. Разложить вектор b={8; 1}по базисным векторам p={1; 2} и q={3; 1}. Составим векторное уравнение xp+yq=b,

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

	1x+ 3y= 8
	2x+ 1y= 1
	x= -1
	y= 3

Ответ: b= -p+ 3q

Ответ: b= -p+ 3q