fizika / Физика билеты на экзамены / б (41) / 41

41..Волновая функция. Уравнение Шредингера. Электрон в потенциальной яме.

Волнова́я фу́нкция, или пси-функция  — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где  — координатный базисный вектор, а  — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Уравне́ние Шрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона в классической механике. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

В квантовой физике вводится комплекснозначная функция , описывающая чистое состояние объекта, которая называется волновой функцией. В наиболее распространенной копенгагенской интерпретации эта функция связана с вероятностью обнаружения объекта в одном из чистых состояний (квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности). Поведение гамильтоновой системы в чистом состоянии полностью описывается с помощью волновой функции.

Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов динамики, и определив вместо этого волновую функцию, необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения в частных физических задачах. Таким уравнением является уравнение Шрёдингера.

Пусть волновая функция задана в N-мерном пространстве, тогда в каждой точке с координатами , в определенный момент времени t она будет иметь вид . В таком случае уравнение Шрёдингера запишется в виде:

где ,  — постоянная Планка;  — масса частицы,  — внешняя по отношению к частице потенциальная энергия в точке ,  — оператор Лапласа (или лапласиан), эквивалентен квадрату оператора набла и в n-мерной системе координат имеет вид:

Электрон в потенциальной яме

Если ранее мы рассматривали примеры в которых е- мог свободно перемещаться в некоторых областях одномерного пространства. Теперь поместим его в область с низкой потенциальной энергией. Такую область обычно называют потенциальной ямой.

Профиль потенциальной ямы шириной L показан на рис. 25

Пока Е>V1, решение не отличается от уже известного нам, но когда Е<V1, то положение принципиально изменяется.

Рассмотрение уравнения Шредингера для пространственно однородного потенциала дает следующие результаты.

В области 3 существует только экспоненциально убывающее решение

(п.1)

где

(п.2)

В области 2 потенциал равен нулю. Здесь возможны решения двух видов - симметричное и антисимметричное (что определяется симметричным распределением потенциала). Соответственно,

(п.3)