The same in HTML for Unixoids / 03 / Лекция 3

Линейные пространства со скалярным произведением Линейные пространства со скалярным произведением Скалярным произведением в линейном пространстве L называется функция (x,y), принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов , удовлетворяющая следующим условиям:

1)        

2)       

3)        

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное - унитарным.

Примеры пространств со скалярным произведением.

1. В пространстве ,

2. В пространстве   

3. В пространстве  

Неравенство Коши-Буняковского.

Доказательство.  Рассмотрим сначала случай действительного

 , т.к. это выполнено для любого действительного , то дискриминант меньше или равен нулю .

Пусть  не является действительным числом, запишем его тригонометрической форме . Рассмотрим . Тогда , Учитывая  и доказанный частный случай получаем .

Наличие скалярного произведения позволяет ввести норму .

Лемма. Если , то    

Доказательство. .

Гильбертово пространство.

Определение. Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым.

Чаще всего рассматривают сепарабельные гильбертовы пространства, т.е. в нём существует счётное всюду плотное множество.

Пусть ортогональная, нормированная система в евклидовом пространстве

 будем называть коэффициентами Фурье, стандартным образом получаем

, т.к. правая часть не зависит от , то . Это неравенство называется неравенством Бесселя.

Определение. Ортономированная система называется замкнутой, если для любого  равенство Парсеваля.

Теорема. В сепарабельном евклидовом пространстве всякая полная ортонормированная система является замкнутой и обратно.

Теорема Рисса-Фишера. Пусть - произвольная нормированная система в полном евклидовом пространстве  и пусть  - сходится, тогда существует , что   и  .

Линейные функционалы.

Числовую функцию, определённую на некотором линейном пространстве  будем называть функционалом. Функционал аддитивный, если , однородный, если , если , то функционал называется сопряжённо однородным. Аддитивнооднородный функционал называется линейным.