The same in HTML for Unixoids / 01 / Лекция 1

Мера множества Мера множества.

Некоторые сведения о множествах

Говорят, что между элементами двух множеств установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу первого множества поставлен в соответствие некоторый элемент второго множества так, что при этом каждый элемент второго множества соответствует только одному элементу первого множества.

Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Если два множества эквивалентны, то говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел, т.е элементы можно занумеровать. Примеры: множество рациональных чисел, целых чисел, простых чисел, алгебраических чисел.

Множество вещественных чисел  сегмента  несчётно.

Если множество эквивалентно множеству всех вещественных чисел сегмента , то говорят, что оно имеет мощность континуум.

Пусть  произвольное числовое множество. Точка  называется внутренней точкой множества, если она содержится в  вместе с некоторой своей окрестностью.

Множество  называется открытым, если все его точки внутренние. Множество  называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Объединение конечного или счётного числа открытых множеств является открытым.

Теорема 1. Любое открытое множество является объединением конечного или счётного числа попарно непересекающихся интервалов

Мера множества. Мера интервала  назовём его длину. Пусть - ограниченное открытое множество. По Т.1 его можно представить в виде , - попарно не пересекающиеся интервалы.

Мерой  открытого ограниченного множества  назовём сумму длин его интервалов.

В силу ограниченности множества этот ряд сходится.

Пусть  -произвольное ограниченное множество. Рассмотрим всевозможные ограниченные открытые множества , содержащие . Множество  мер этих множеств ограничено снизу (например, числом 0) и, следовательно, имеет

Число  называет внешней мерой множества .

Определение. Множество  называется измеримым (по Лебегу), если  существует открытое множество , содержащее , для которого . При этом внешняя мера множества  называется его мерой Лебега.

-аддитивность меры Лебега

Мера счётного множества равна нулю. Однако несчётное множество также может иметь меру ноль.

Пример. Возьмём отрезок , разделим на три равных части и удалим средней интервал, оставшиеся сегменты поделим на три равные части и удалим средние интервалы и т. д. Получившееся (канторово) множество несчётно но имеет меру ноль.

Пример неизмеримого множества в Колмогорове Фомине на стр.303.

Измеримые функции.

Пусть функция  определена на измеримом множестве . Пусть , множество всех таких значений аргумента , принадлежащих множеству , для которых .

Определение. Функция  называется измеримой на множестве , если для любого числа  множество

Для измеримости  на множестве  необходимо и достаточно, для любого числа  было бы  измеримо одно из множеств  , , .

Свойства измеримых функций.

1.      Если функция  измерима на множестве , то она измерима на любом измеримом подмножестве.

2.      Если функция  измерима на множестве , ,.., ,…, то она измерима на их объединении и пересечении.

3.      Если функция  определена на множестве меры нуль, то она измерима на этом множестве.

4.      Если функции ,  измеримы на множестве , то, , ,  (при условии ).

5.      Непрерывная на сегменте функция измерима на этом сегменте.

Говорят, что некоторое свойство справедливо почти всюду на множестве , если множество точек из , на котором оно не справедливо, имеет меру ноль.

Функции , определённые на измеримом множестве, называются эквивалентными на этом множестве, если они равны почти всюду.

6.      Если  измерима, а  эквивалентна , то  измерима.

7.      Теорема Лузина.(С- свойство). Для того чтобы функция  была измерима на  необходима и достаточно, чтобы  существовала непрерывная на  функция  такая, что .

Интеграл Лебега.

Определение интеграла Лебега от ограниченной функции.

Пусть - произвольное измеримое множество. Разбиением множества  назовём любую совокупность  конечного числа измеримых множеств  такую, что , , если . Пусть на множестве  определена ограниченная функция . Для произвольного разбиения  положим , и составим две суммы: , .

Числа ,  называют верхними и нижними суммами разбиения Т. Очевидно, .

Рассмотрим числовые множества  всевозможных нижних и верхних сумм. Они ограничены снизу числом , а сверху числом , где , , и, следовательно, имеют точные грани. Числа  и  называются нижним и верхним интегралами Лебега.

Определение. Ограниченная на измеримом множестве  функция  называется интегрируемой по Лебегу на этом множестве, если .

При этом число  называется интегралом Лебега от функции  и обозначается .

Связь между интегралами Римана и Лебега.

Теорема. Всякая функция, интегрируемая по Риману на , являются интегрируемой на  по Лебегу, причём интегралы Римана и Лебега равны.

Единственная сложность в доказательстве показать, что из интегрируемости по Риману следует измиримость.

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Известно, что функция Дирихле неинтегрируема по Риману

Пример. Функция Дирихле   интегрируема по Лебегу

Т.к. , то для любого разбиения  имеем . Рассмотрим разбиение  сегмента  на множество  рациональных чисел и множество  иррациональных чисел. Для этого разбиения

Таким образом, множество  содержит число . Поэтому

Так как все , то , а т.к. , получаем .

Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций.

Теорема. Для того чтобы ограниченная на измеримом множестве  функция  была интегрируема по Лебегу на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы  была измерима на .

Интеграл Лебега как предел лебеговских интегральных сумм.

Пусть ограниченная измеримая функция на множестве , ,  и пусть , ,… произвольные числа такие, что .

Лебеговским разбиением множества  называется разбиение , где   .

Пусть  - произвольная точка из . Число  называется лебеговской интегральной суммой (если какое-то , то соответствующее слагаемое равно ). Положим , где .

Теорема. Предел лебеговских интегральных сумм при  равен интегралу Лебега, т.е.

Это определение аналогично определению интеграла Римана, однако на частичные сегменты разбивается не область определения, а множество значений функций.

Свойства интеграла Лебега.

1.     

2.      Линейность

3.      Аддитивность , если

4.      Если  и  интегрируемы и